Математическое моделирование пространственно-временной эволюции трёхмерных волн в стекающих слоях вязкой жидкости

• Автор: Шелистов, Владимир Сергеевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Краснодар
• Количество страниц: 141 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Математическая формулировка проблемы и е современное состояние.

1.1 Постановка задачи и основные уравнения, описывающие

течение слоя жидкости

1.2 Обзор предшествующих теоретических и экспериментальных

результатов.

1.3 Цель и задачи работы.

2 Численные методы решения.

2.1 Обзор решаемых задач и методов

2.2 Особенности применения методов Галркина для описания

волновых структур.
2.3 Приложение компактных схем к моделированию трхмерных
волновых режимов
2.4 Машинная реализация алгоритма
3 Бифуркации стационарных трхмерных уединнных волн
в стекающих плнках жидкости
3.1 Одногорбые и многогорбыс трхмерные уединенные волны
в плнках жидкости
3.2 Подтверждение модели экспериментальными данными .
3.3 Поведение малых возмущений трхмерных уединнных волн
3.4 Компьютерное моделирование неустойчивости
4 Численное моделирование бифуркаций и переходов вниз по потоку
4.1 Начальные и краевые условия для математического моделирования нространственновремеиибй эволюции возмущений .
4.2 Возмущения без поперечной составляющей.
4.3 Эволюция естественных трхмерных возмущений и е стадии
4.4 Солитоиный газ. Спектр волн.
Литература


Трёхмерный режим течения является типичным примером детерминированного хаоса: поверхность плёнки покрыта когерентными структурами (Л-солитонами), которые, однако, хаотическим образом распределены по поверхности плёнки, давая процессу случайную составляющую. Хотя число Рейнольдса при таком режиме далеко от критического для неустойчивости Толлмина - Шлихтинга и обычной турбулентности, поверхность плёнки выглядит очень нерегулярно и этот режим часто называется режимом поверхностной турбулентности. В настоящей работе впервые создан численный алгоритм для моделирования пространствеино-временнбго развития трёхмерных волновых структур в стекающей плёнке жидкости. С помощью этого алгоритма исследованы различные волновые режимы и переходы к ним, включая режим поверхностной турбулентности. Помимо разработки специальных численных методов расчёта пространственно-временного развития, исследование потребовало также применения математического аппарата теории бифуркаций и теории гидродинамической неустойчивости. В работе теоретически объяснён и описан экспер и ментальный факт существования трёхмерных двугорбых уединенных волн. Настоящая диссертация состоит из введения, четырёх глав, обоснованного заключения, списков литературы и используемых обозначений и двух приложений. В первой главе производится предварительная подготовка к последующему исследованию. В разд. Основой последующих моделей является система уравнений Навье - Стокса описывающая движение вязкой ньютоновской жидкости, стекающей под действием силы тяжести в вертикальной плоскости. Для больших сил поверхностного натяжения задача для системы Навье - Стокса сводится к упрощённой — системе Капицы - Шкадова, которая, тем не менее, сохраняет основные свойства полной системы. В разд. В конце главы, в разд. В разд. Обосновывается выбор методов Галёр-кипа для численного построения решений типа трёхмерных стационарных волн. Производится анализ различных полных систем функций. Для нахождения численных решений, сильно меняющихся как во времени, так и по пространству, для больших диапазонов времени и большого пространственного интервала обосновывается выбор дискретного преобразования Фурье по нормальной к направлению течения координате, а по координате вдоль течения — особой разновидности разностной схемы — компактной схемы третьего порядка точности. В разд. Галёркина [,]. Эти методы оказываются предпочтительными для нахождения стационарных трёхмерных когерентных структур. Разд. Приводятся шаблоны, используемые далее в численных экспериментах, и сравнение эффективности этих схем с классическими конечноразностными методам. Разд. Третья глава содержит исследование трехмерных эффектов. На основе методов Галёркина и разностных методов, описанных в предыдущей главе, строятся численные модели для нахождения стационарных и нестационарных трёхмерных решений и исследования их устойчивости. В разд. Россби, сегрегацию магмы в земной мантии, локализованные волны в жидких кристаллах. Строится бифуркационная диаграмма решений, показывается существование многогорбых трёхмерных уединённых волн. Двугорбые солитонные решения уравнения Кавахары продолжаются по параметру таким образом, чтобы в частном случае решение совпадало с предельным решением системы Капицы - Шкадова. В свою очередь, строятся решения типа двугорбых трёхмерных уединённых волн для системы Капицы - Шкадова в широком диапазоне параметров, описывающие реальные режимы на плёнке. В разд. В разд. В силу бесконечности области по пространственным переменным решение системы имеет две части спектра — непрерывную и дискрегную. Показывается, что одногорбая уединённая волна устойчива, а двугорбая — неустойчива к возмущениям дискрег-ного спектра на всём интервале своего существования. Для обоих типов волн существует окно устойчивости к возмущениям непрерывного спектра. В разд. Вывод спектральной теории устойчивости полностью подтверждается прямым численным экспериментом. Четвёртая глава описывает численное моделирование пространственно-временной эволюции начальных малых трёхмерных возмущений. Разд. Модельные уравнения дополняются краевыми условиями, моделирующими случайные возмущения на входе, и “мягкими” краевыми условиями на конце расчётной области. На боковых стенках принимаются условия периодичности.