Иерархия стохастических диффузионных моделей газовой динамики

• Автор: Богомолов, Сергей Владимирович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 278 с. : ил.

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ

1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И СТРУКТУРА РАБОТЫ

1.1 Микро мезо макро детерминистические модели

1.2 Стохастические модели и их связь с детерминистическими .

1.2.1 Микро
1.2.2 Мезо.
1.2.3 Макро

1.2.4 Некоторые упрощенные модели для газа из твердых сфер .

2 ГАЗ ИЗ ТВЕРДЫХ СФЕР КАК СИСТЕМА СЛУЧАЙНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ

2.1 Система стохастических уравнений для п частиц и предельное уравнение для меры .

2.2 Случайный процесс, описывающий движение частицы в фазовом пространстве .
3 ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ УМЕРЕННЫЕ ЧИСЛА КНУДСЕНА
3.1 Система уравнений для диффузионного процесса, описывающего движение частицы в фазовом пространстве.
3.2 Уравнение Колмогорова Фоккера Планка
3.3 Консервативность .
3.4 Коэффициенты сноса и диффузии в пространстве скоростей для газа из твердых сфер
4 УРАВНЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКОЙ КВАЗИГАЗОДИНАМИКИ
4.1 Уравнение неразрывности с самодиффузией
4.2 Эволюция импульса.
4.3 Распределение энергии.
4.4 Система уравнений стохастической квазигазодинамики .
4.5 Результаты расчетов.
5 ЭНТРОПИЙНО СОГЛАСОВАННЫЙ БЕЗДИССИПАТИВНЫЙ МЕТОД ЧАСТИЦ
5.1 Основания метода частиц.
5.1.1 Дискретизация детерминированные
методы.
5.1.2 Уравнение переноса
5.1.3 К обоснованию метода
5.1.4 Вероятностный подход стохастические методы
5.1.5 Варианты метода частиц
5.2 Методы частиц для системы уравнений газовой динамики.
5.2.1 Явный метод
5.2.2 Метод суммарной аппроксимации .
5.3 Двумерный случай. Несжимаемая жидкость
5.3.1 Двумерное уравнение переноса . . .
5.3.2 Двумерное уравнение Бюргерса . .
5.3.3 Учет градиента давления
5.3.4 Рождение гибпь частиц.
Заключение
Литература


Больцмана и метод частиц для уравнений Власова и Ландау - Фоккера - Планка. Она позволяет подключить все богатство теории случайных процессов к исследованиям в кинетической теории, в частности, к построению иерархии микро - макро моделей газовой динамики. Программа такого построения, не привязанная, правда, к конкретным физическим моделям, а поэтому относящаяся к некоторым модельным задачам, позволяющим довести математические рассуждения до законченных теорем, содержится в книге A. B. Скорохода []. Если A. A. Арсеньев исходит из обобщенных кинетических уравнений для меры, то A. B. Скороход начинает с рассмотрения большой системы стохастических объектов с вероятностным законом взаимодействия, а именно, во второй главе [] рассматривается асимптотическое поведение системы случайно взаимодействующих частиц при неограниченном возрастании их числа, устанавливается существование предельного распределения для нормированного числа частиц в областях, асимптотическая независимость движений отдельных частиц, получены предельные уравнения движения для одной частицы, а также найдены условия, при которых эти уравнения превращаются в стохастические диффузионные уравнения. В предисловии A. B. Скороход пишет: "Меня давно интересовала возможность строго математически получить из уравнений движения системы частиц вероятностное броуновское движение. Этот интерес в значительной мере и стимулировал все исследования, проводимые в книге. Эта недавно появиншаясь область моделирования ряда важных явлений с помощью теории случайных процессов прекрасно представлена в обзоре В. В. Учайкииа, В. Ю. Королева, В. В. Саенко [8]. Устойчивые распределения. Важнейшим результатом теории вероятностей, как в теоретическом смысле, так и в отношении приложений, является Центральная предельная теорема. Из бесконечного множества мыслимых распределений она выделяет нормальное (гауссово) распределение как единственное из распределений с конечной дисперсией, которое служит предельным распределением для нормированных сумм независимых случайных величин. На основе гауссова распределения возникла концепция гауссова, случайного процесса, породившая в конечном итоге мощную ветвь вероятностной науки — теорию случайных процессов. Она связала нормальное распределение с дифференциальными уравнениями диффузионного типа (первого порядка по времени и второго — по координатам) и обеспечила тем самым многочисленные его приложения в теоретической физике. Выдающийся французский математик Поль Леви установил, что если отказаться от ограничения конечной дисперсией, то обнаруживается целый класс предельных распределений, названных им устойчивыми. Устойчивость здесь понимается в том смысле, что сумма двух независимых случайных величин (случайных векторов), распределенных по устойчивому закону, снова распределена (с точностью до линейного преобразования) по тому же закону. Подобно гауссову распределению, ставшему основой для винеровского процесса, моделирующего броуновское движение, устойчивые законы служат основой случайного процесса, названного Леви - движением. Как и броуновское движение, Леви - движение авто-модельно, его плотность выражается через устойчивую плотность как функцию алгебраической комбинации пространственной и временной переменных. Дробно - устойчивые плотности. Трудно переоценить роль, которую играет в теории диффузии броуновское движение. Тем не менее, нашлись конкретные физические явления переноса, потребовавшие для своей интерпретации Леви - движение [9, 0, 1, 2]. Следующий шаг в направлении расширения этого класса распределений был сделан М. Входящие в определение дробно - устойчивые, случайные величины распределены по устойчивым законам, являющимся предельными в стандартной схеме суммирования независимых случайных величин. Можно указать также схему суммирования, предельными распределениями в которой оказываются сами дробно - устойчивые распределения. Дробные, производные. Второе важное обстоятельство, объединяющее дробно - устойчивые плотности, связано с их отношением к уравнениям в дробных производных [3,5].