Анализ сингулярного спектра в задачах обработки временных и пространственных данных

• Автор: Усевич, Константин Дмитриевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 226 с.

Введение

Слисок основных обозначений .

Глава 1. Основные сведения из теории метода АСС

1.1. Операции с матрицами

1.2. Базовый метод АСС.

1.2.1. Этап разложения

1.2.2. Этап восстановления

1.2.3. Комментарии к шагу группировки.

1.3. Ряды конечного ранга и разделимость.

1.3.1. Ряды конечного ранга.

1.3.2. Точная разделимость

1.3.3. Приближенная разделимость и пол у разделимость .
1.4. Ряды конечного ранга и линейные рекуррентные формулы . .
1.4.1. Случай конечных рядов
1.4.2. Случай бесконечных рядов .
1.5. Продолжимые ряды и прогнозирование
1.5.1. ЛРФ прогноза, в методе АСС и ее основные свойства . .
1.5.2. Алгоритмы прогноза в методе АСС
1.5.3. Побочные корни ЛРФ прогноза, и их свойства.
1.6. Модификации метода АСС
1.6.1. Методы оценки параметров сигналов
1.6.2. Метод АСС для рядов над конечным полем.
1.7. Метод АСС для двумерных массивов
1.7.1. Базовый алгоритм метода АСС для двумерных массивов
1.7.2. Частные случаи двумерного метода АСС .
1.7.3. Метод АСС в анализе текстур собственные фильтры .
Глава 2. Алгебраическая теория
2.1. Структура ганкелевых матриц.
2.1.1. Поведение ранга в зависимости от Г.
2.1.2. Структура левого ядра при с1ЬУ 1 1
2.1.3. Структура левого ядра, Ь X 4 1.
2.1.4. Поведение ранга при расширении ряда
2.1.5. Библиографические ссылки.
2.2. Бесконечные массивы.
2.2.1. Бесконечные массивы и линейная сложность.
2.2.2. Биномиальное представление и базисы пространства сдвигов
2.2.3. Биномиальное представление с одним корнем
2.2.4. Определяющие множества и оценки сверху линейной
сложности по биномиальному представлению.
2.2.5. Нижняя оценка линейной сложности.
2.2.6. Оценки линейной сложности по биномиальному представлению общего вида.
2.2.7. Граничные базисы и базисы Грсбнера.
Глава 3. Результаты для одномерного случая
3.1. Систематизация типов рядов конечного ранга
3.1.1. Продолжимые ряды и бесконечные ряды .
3.1.2. Продолжимость и линейные рекуррентные формулы .
3.1.3. Реверсивные ряды. Характеризация.
3.1.4. Теорема Бухштабера. Базис траекторного пространства
3.2. Разделимость
3.2.1. Критерий односторонней разделимости
3.2.2. Полуотделимость от рядов регулярной конечноразностной размерности
3.2.3. Перечисление случаев левой отделимости для Ь К
3.2.4. Двусторонняя разделимость.
3.3. ЛРФ прогноза и ее побочные корни.
3.3.1. Характеристический полином ЛРФ прогноза.
3.3.2. Основные свойства ортогональных многочленов
3.3.3. Асимптотические свойства побочных корней .
3.3.4. Некоторые приложения и замечания
3.4. Подсчет числа матриц данного ранга в конечном поле.НО
3.4.1. Сведение задачи подсчета количества ганкелевых матриц к задаче подсчета рядов.
3.4.2. Независимость числа рядов данного ранга от длины рядаШ
3.4.3. Результаты о количестве матриц и рядов .
3.4.4. Подсчет рангов матриц с ограничениями
3.4.5. Нахождение количества рядов данного ранга с ограничениями . .
Глава 4. Результаты для двумерного случая
4.1. Траскторное пространство и ранг массива.
4.1.1. Траекторное пространство и основные свойства ранга .
4.1.2. Тензорное произведение рядов
4.1.3. Ьх, Ьуутраекторное пространство бесконечного массива
4.1.4. Полиномиальное представление массивов и оценка линейной сложности
4.1.5. Оценки линейной сложности по диаграмме Ферре биномиального представления
4.2. Оценки множества допустимых размеров окна.
4.2.1. Оценка множества для бесконечного массива
4.2.2. Переход от бесконечного массива к конечному
4.3. Двумерная разделимость
4.3.1. Разделимость произведений рядов
4.3.2. Разделимость бесконечных массивов конечного ранга .
4.4. Непрерывный вариант и системы в частных производных . . .
4.4.1. Разложение функций. Ранг функций.
4.4.2. Линейные системы уравнений в частных производных .
4.4.3. Общий вид функций конечного ранга .
4.4.4. Свойства системы высшего порядка
Глава 5. Численные эксперименты
5.1. Отделимость массивов конечного ранга от шума
5.1.1. Описание методов очистки от шума
5.1.2. Массивы конечного ранга, сравнение методов.
5.1.3. Зависимость ошибки восстановления от размеров окна
и структура ошибки
5.1.4. Массивы неполного ранга
5.2. Задачи анализа изображений.
5.2.1. Фильтрация цифровых моделей рельефа
5.2.2. Задачи анализа текстур.
5.3. Комплекс программ для АССразложения и обработки данных
5.3.1. разложение на основе вычисления ковариационной матрицы.
5.3.2. Быстрые вычисления с помощью БПФ.
5.3.3. Структура и краткое описание комплекса программ . .
Заключение.
Литература


Отдельно описывается алгоритм двумерного метода АСС, его базовые свойства и существующие приложения. Во второй главе содержится алгебраическая теория, необходимая для решения поставленных задач. Приводится обзор алгебраической теории ганкелевых матриц. Описывается теория бесконечных массивов, связанных линейными соотношениями. Приводятся результаты о структуре бесконечных рекуррентных массивов и об оценке их линейной сложности. В третьей главе содержатся результаты диссертации для случая временных рядов. Систематизируются и уточняются известные результаты о соотношениях между рядами конечного ранга и ЛРФ. Предлагается новый критерий полуразделимости и производится классификация всех случаев полуразделимости и разделимости. Систематизируются результаты о распределении побочных корней ЛРФ. Приводятся результаты о способе подсчета количества матриц данного ранга в конечном поле. В четвертой главе содержатся теоретические результаты для двумерного метода АСС. Показывается связь между линейной сложностью бесконечных массивов и рангом разложения в методе АСС. Выделяются классы массивов конечного и неполного ранга. Доказывается новая оценка линейной сложности. Расширяется на общий случай оценка множества допустимых размеров окна. Исследуются условия разделимости двумерных массивов. АСС. В пятой главе содержатся практические результаты для двумерных массивов. Изучается зависимость ошибки восстановления зашумленного сигнала от размеров окна и области изображения. Формулируются рекомендации по выбору размеров окна. Рассматриваются методы, основанные на АСС, для задач фильтрации изображений и обработки текстурных изображений. Разрабатываются методы для эффективного вычисления АССразложен и я и описывается реализация этих методов в виде комплекса программ. В заключении приводятся выводы и подводятся итоги диссертационного исследования. Приложение Л содержит исходные коды разработанного комплекса программ. Общий объем диссертации составляет 6 страниц, список литературы состоит из 8 наименований на страницах. Л, В,. Л, В. С,. А ад,. А ап,. А о,. СА. ЦХЦ. Б отечественной литературе метод АСС традиционно более известен иод названием Гусеница . В данной диссертации используется название Анализ Сингулярного Спектра, как более соответствующее общепринятому в научной литературе названию i i , . К первым упоминаниям о методе АСС в России можно отнести работы х гг. О.М. Калинина, М. Д. Белонина 6, М. М. Кислицина . В других странах к первым работам обычно относят , , . Метод АСС активно развивайся в СанктПетербургском государственном университете, в особенности коллективом сотрудников кафедры статистического моделирования под руководством С. М. Ермакова. В г. АСС Гусеница . В г. V. i, . АСС. Эти работы лежат в основе данной главы. Мы будем, в основном, придерживаться обозначений из . Для векторного пространства V над полем К, обозначим V пространство М х матриц над полем С, изоморфное пространству Vя. Пусть X и ii матрицы из Мдд. Тогда
X, ХнШ 1. Также в некоторых работах встречается название сингулярный спектральный анализ . ЧХ,ХМ. Введем изоморфизм между пространствами Мм,лг и САЛ с помощью следующих двух операторов. Определение 1. Векторизацией см. А оц, , ,ад2 . Определение 1. М, АМатрицированием вектора X СЛЛ будем называть матрицу размера М х А таНл. КХ, такую что усс А X. Замечание 1. Х,У2 ХУ стандартное скалярное произведение в СЛУ. Определим также операцию кронекеровского произведения . Определение 1. М х и Т х соответственно. С . В т. М х матрица с Т х 5 блоками. Отметим некоторые свойства кроиекеровского произведения. Предложение 1. ТЬ. Для любых А 6 Мтм, В Мг, С Мп. А 0 ВС 0 Б АС 0 ВБ. Предложение 1. ТЬ. А 0 В1 Аг 0 Вг. Предложение 1. ТЬ. АВС Ст 0 А уес В. В этом разделе описывается базовый метод АСС для разложения временного ряда в сумму аддитивных составляющих. Схема базового метода является основой для всех методов разложения в рамках АСС методологии и состоит из четырех шагов вложение, сингулярное разложение, группировка и ортогональное проецирование. Первые два шага составляют этап разложения.