Об исследовании консервативно-диссипативного перехода в системах дифференциальных уравнений с хаотической динамикой

• Автор: Рябков, Олег Игоревич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 199 с. : ил.

Содержание
Введение .

Обзор литературы

Глава 1. Теоретические подходы и методы исследования .

1.1. Полимодальные отображения .

1.2. Подход ГиллмораЛефранка.

1.3. Стабилизация периодических решений в обыкновенных дифференциальных уравнениях

1.4. Стабилизация периодических решений в уравнениях с частными производными

Глава 2. Численное исследование некоторых малоразмерных систем.

2.1. Модельная система

2.2. Система Крокета Хаотический маятник.

2.3. Космический маятник.
2.4. Система ЯнгаМиллсаХиггса
Глава 3. Численное исследование некоторых начальнокраевых задач уравнений в частных производных
3.1. Задачи о двумерных гидродинамическом и МГД течениях в
каверне
3.2. Задача о двумерном МГД течении в канале с расширением . .
Заключение.
Литература


Для отображения Смейла существует символическая динамика, сопоставляющая всем траекториям отображения, находящимся на инвариантном множестве, символические бесконечные в две стороны последовательности 0 и 1 (||). При этом в подкове Смейла существует траектория для любой такой последовател ь ноет и. Еще одно важное (особенно в контексте данной работы) направление в нелинейной динамике, которое также относится к дискретным отображениям - изучение свойств одномерных необратимых отображений (отображений прямой и окружности в себя). Исследование этих динамических систем началось с открытия Фейгенбаумом логистического отображения во время исследования модели банковских вкладов ([]). Логистическое отображение относится к классу унимодальных отображений, т. Важные свойства таких отображений, касающиеся порядка появления периодических траекторий различной длины, были детально изучены Шар-ковским (||). Однако непосредственное применение этих результатов в теории сложных дифференциальных уравнений затруднялось тем фактом, что эти отображения являются необратимыми, т. В дальнейшем различные авторы неоднократно возвращались к теме одномерных интервальных отображений, в частности, в [| численно исследованы свойства полимодальных (т. В || авторы предлагают метод исследования и классификации хаотических систем, использующий некоторые топологические инварианты их периодических траекторий. Метод помимо прочего позволяет строить для исследуемых систем символическую динамику. В работе будет использован этот метод и для краткости он называется методом Гилл мора или Гилл. Лефран ка. Отправной точкой всего исследования является серия работ Магницкого и соавторов. Основные результаты этих работ изложены в книге [] и касаются связи между хаотической динамикой в системах дифференциальных уравнений и хаотической динамикой в унимодальных отображениях. Несмотря на внешнее противоречие, упомянутое выше, авторам удается убедительно продемонстрировать наличие такой связи, по крайней мере, в отношении правил сосуществования периодических решений. Позднее в работе [] этот подход был применен к некоторым консервативным системам обыкновенных дифференциальных уравнений. В данном разделе сделана попытка последовательно изложить качественную теорию двух видов т. Наиболее известными в данной области являются результаты касающиеся т. Фейгенбаума и Шар ко вс ко го [], в частности порядок Шар конского. Несмотря на некоторую элегантность теоремы Шарковского о порядке появления циклов в унимодальных отображениях, ее нельзя рассматривать как исчерпываю1цую даже для указанного класса отображений. Более полное представление дает подход, использующий символическую динамику. Результаты первой части данного раздела без доказательств и строгих формулировок изложены в статье ||. Именно эта статья и послужила основой для результатов данного подраздела. Вторая часть содержит строгие формулировки для другого вида полимодальных отображений, введенного Хансеном [|. Во второй главе вопрос важности последнего вида полимодальных отображений для теории хаотической динамики в система дифференциальных уравнений будет рассмотрен более подробно не некоторых примерах. Рассмотрим произвольное п-модальное(имеющее п экстремумов) отображение у = /(х) прямой Е в себя и связанную с ним динамическую систе-му(ДС) с дискретным временем хх+ = /(а? Рис. Пусть хс,, хС2,. Сп - точки экстремумов /(х). Пусть f(x) - функция типа т. Тогда хГл - максимум, хС2 - минимум и т. Введем некоторые базовые понятия. Х2 = /(xi),. Г~1(хо). S = {st}? Определение 1. Обозначим получившиеся в результате построения функции через ві = ві(хо) : К —> {0,. Б = 8(хо) : М —> {0, п}^=1. Определение 2. Обозначим через а оператор сдвига последовательности на один символ влево. Те. Т = . Заметим, что ок8(х) = 8(1к(х)). Определение 3. Обозначим через з, множество точек {. V А; = 1 , . Утверждение 1. Г(х) - монотонна па /5, 5|. Доказательство. Рис. Сг. Пусть для 7 = г - 1 пункты 1)/2) уже доказаны. Докажем их для г(рис. В силу монотонности /1~1(х) на /ад «,-! Хс->+1) будет р/интервал/отрезок/полуинтервал.