Математическое моделирование аномальной диффузии с использованием дробно-дифференциальных уравнений и дискретно-элементных моделей

• Автор: Сластушенский, Юрий Викторович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 105 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.
1. ДРОБНОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К МОДЕЛИРОВАНИЮ АНОМАЛЬНОЙ ДИФФУЗИИ.

1.1. Макроскопическая модель аномальной диффузии

1.2. КОНЕЧНОРА ЮС П1ЫЕ МЕ ГОДЫ РЕШЕИЯ ДРОБНОДИФФЕРЕЩИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1.3. Методы повышенного порядка точности

1.4. Метод случайного блуждания.

1.5. Особенности решений дробнодифференциальных уравнений

Выводы к главе 1

2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АНОМАЛЬНОЙ ДИФФУЗИИ БИЛЬЯРДНОГО ГАЗА В ПОЛИГОНАЛЬНОМ КАНАЛЕ.

2.1. ДИСКРЕТ ЮОЛЕМЕНТНАЯ МОДЕЛЬ БИЛЬЯРДНОГО ГАЗА

2.2. РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
2.3. Описание аномальной диффузии бильярдного газа дробнодифференциальными
УРАВНЕНИЯМИ
Выводы к главе 2
3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АНОМАЛЬНОЙ ДИФФУЗИИ В СРЕДАХ С НЕОДНОРОДНОЙ СТРУКТУРОЙ
3.1. ДИСКРЕТНОЭЛЕМЕНТАЯ МОДЕЛЬ СРЕДЫ С НЕОДНОРОДНОЙ СТРУКТУРОЙ.
3.2. Особенности вычислительного эксперимента.
3.3. Механизмы появления пространственной аномалии
3.4. Механизмы появления временной аномалии.
3.5. Механизмы появления комбинированной аномалии.
3.6. Моделирование аномальной диффузии вдоль границ зерен.
3.7. Описание программного комплекса
Выводы к главе 3
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


Зачастую затрачивались большие усилия для получения утверждений или уже известных, или легко вытекающих из известных. Первая монография, содержательно отражающая достижения теории дробного исчисления, вышла только в г. В этом же году в Ныо-Хсйвене прошла организованная Б. Россом первая международная конференция, посвященная именно вопросам дробного иитегро-дифференцирования. Среди русскоязычной литературы первой обстоятельной работой, посвящённой математике дробно-дифференциального исчисления, была книга [1]. На сегодняшний день вышло уже большое количество работ, которые посвящены не только непосредственно теории дробного исчисления, но и её применению в самых различных областях науки, техники и естествознания, например [2-]. Среди англоязычных публикаций следует отметить большой вклад, которые внесли в теорию Meerschaert М. М. и его соавторы [-]. Не менее полезна и серия работ Gorenflo R. Mainardi F. Также важны статьи за авторством Sokolov I. M., Chechkin A. V., Klafter J. Liu F. Anh V. Roop J. P. [-]. Кроме того, стоит выделить труды от Momani S. Odibat Z. Hristov J. Следует отметить, что в последние годы интерес к дробно-дифференциальному исчислению особо стимулируется теми практическими его приложениями, которые регулярно обнаруживаются в различных физических экспериментах. Далее отметим самое существенное из этих работ. На данный момент известно несколько альтернативных определений дробных интегралов и производных (Адамар, Вейль, Маршо и др. Римана и Лиувилля. В настоящее время определение дробного интеграла согласно Риману-. Г {и) - гамма-функция Эйлера. Первый из них называется левосторонним, а второй - правосторонним. Эти интегралы определены на интегрируемых по Лебегу функциях на интервале (аЬ) и существуют почти всюду. Дробные интегралы Римана-Лиувилля удовлетворяю! Просто продолжить дробные интегралы на область отрицательных значений V, т. М- НЧ-/Г/М ¦ . Дробные производные Римана-Лиувилля положительного порядка V определены в классе функций [и]- раз абсолютно дифференцируемых на отрезке [аЬ] и существуют почти всюду. В итоге (положив /? Если v — целое число, то эти формулы дробных производных совпадают с формулами обычной производной целого порядка. При а = 0 и b = 0 данные формулы называются так же дробной производной Римана-Лиувилля, при других конечных а и b - просто дробной производной Римана, а при а = -оо для левосторонней и b = +сс для правосторонней-дробной производной Лиувилля и Вейля соответственно. Дробные производные сохраняют ряд свойств обычных производных. ДЫ + с) = Ь-^^ДЫ + с), Ь > 0. Ньютона-Лейбница. В то же время у них появляются специфические свойства. В первую очередь, это зависимость от предела а (нелокальность), т. В результате, значение левосторонней дробной производной функции Дх) в точке * зависит от значений функции во всех точках левее х, а для правосторонней - от значений функции во всех точках правее х. Таблица производных также меняет вид, хотя формула дифференцирования степенной функции остаётся той же самой, только целое п заменяется дробным у. Пусть ФМ) =>0. Отсюда следуют два необычных факта. СФи(/-а) = 0. Следовательно, функция СФХ играет роль постоянной для у-й производной. И если, например, функция ^(х) является решением уравнения /}*#(/) = /(/), то и функция ? СФу{х-а) будет его решением, а вот функция #(л:) + С - нет. У;Ах) = 1ГО'"Пх). Такие операции называются дробными производными Капуто, по имени итальянского математика, использовавшего их для решения некоторых задач теории упругости. В общем случае дробные производные Римана-Лиувилля и Капуто не совпадают, но на множестве функций, удовлетворяющих условию /ло)(л+) = 0,0<у <[о], разница исчезает. С(/-а) = 0,о>0. В г. Грюивальд и в г. Летников выпустили работы, в которых они развили подход к дробному интегро-дифференцированию, основанный на конечно-разностных отношениях. Его идея в том, что производную целого порядка /7 (/? Ау к /7-й степени приращения аргумента /? Таким образом, Грюнвальд и Летников использовали абсолютно другой подход. Д"/(» = ? И, на случай нецелых п.