Диффузионный хаос в системах уравнений реакция-диффузия

• Автор: Карамышева, Таисия Владимировна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 134 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Универсальный сценарий перехода к хаосу в нелинейных системах дифференциальных уравнений.

1.1 Хаотическая динамика в одномерных унимодальных отображениях

1.2 Динамический хаос в двумерных неавтономных диссипативных системах обыкновенных дифференциальных уравнений
1.3 Динамический хаос в трехмерных автономных диссипативных системах обыкновенных дифференциальных уравнений
1.4 Динамический хаос в многомерных диссипативных системах обыкновенных дифференциальных уравнений.

1.5 Динамический хаос в гамильтоновых и консервативных системах

1.6 Выводы к главе 1 .

2 Спиральные волны и диффузионный хаос в автоколебательных средах.

2.1 Системы уравнений типа реакциядиффузия.

2.2 Уравнение КурамотоЦузуки.
2.3 Спиральные волны и соответствующие им решения в фазовом
пространстве .
2.3.1 Область параметров, соответствующая плоским волнам .
2.3.2 Область параметров, соответствующая спиральным волнам
2.3.3 Область параметров, соответствующая диффузионному хаосу
2.4 Выводы к главе 2.
3 Бегущие волны, импульсы и диффузионный хаос в возбудимых средах.
3.1 Система уравнений типа ФитцХыоНагумо и автомодельная замена переменных
3.2 Модельный пример возбудимой среды
3.3 Система, описывающая реакцию окисления молекул СО на поверхности платины 1
3.3.1 Сведение к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
3.3.2 Особые точки и сценарий перехода к хаосу
3.4 Выводы к главе 3
4 Переход к диффузнойному хаосу в моделях экологических систем.
4.1 Уравнения реакциядиффузия в экологических моделях
4.2 Экологическая модель трофической цепи длины два.
4.2.1 Рождение цикла в сосредоточенной системе
4.2.2 Рождение цикла б распределенной системе.
4.2.3 Диффузионный хаос в экологической модели на отрезке.
4.3 Выводы к главе 4
Заключение
Литература


Выяснить, соответствует ли сценарий перехода к диффузионному хаосу в уравнении Курамото-Цузуки в двумерном случае универсальной бифуркационной теории Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого. Провести анализ решений системы уравнений типа ФитцХыо-Нагумо, описывающей возбудимые среды, сведением ее к трехмерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи автомодельной замены переменных. Показать, что диффузионный хаос в системе уравнений типа ФитцХыо-Нагумо описывается сингулярными аттракторами системы обыкновенных дифференциальных уравнений, в которую переходит система уравнений типа ФитцХыо-Нагумо при соответствующей автомодельной замене переменных, и выяснить, соответствует ли переход к диффузионному хаосу в этой системе универсальной бифуркационной теории Фейгенбаума-Шарковского-Магннцкого. Выяснить, соответствует ли переход к диффузионному хаосу в рассматриваемой модели экологической системы универсальной бифуркационной тео рии Фей ген бау ма- Шар ковско го-Маг н и I ;ко I о. Найдены области значений параметров, при которых уравнение Курамото-Цузуки, описывающее автоколебательные активные среды в двумерном случае, имеет плоские волны, спиральные волны или режимы диффузионного хаоса. Установлено, что спиральным волнам соответствуют двумерные и трехмерные торы в разных подпространствах фазового пространства решений. Установлено также, что при приближении значений параметров к области диффузионного хаоса, уравнение Курамото-Цузуки в двумерном случае имеет устойчивые трехмерные торы и более сложные решения, соответствующие развитию и образованию пространственно-временного хаоса. Показано, что сценарий перехода к диффузионному хаосу в автоколебательных активных средах в двумерном случае происходит в соответствии с универсальной бифуркационной теорией Фсйгснбаума-Шарковского-Магницкого. Эти решения порождаются каскадами бифуркаций циклов и сингулярных аттракторов в соответствии с теорией Фсйгсибаума-Шарковского-Магницкого в трехмерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, в которую переходит система уравнений типа ФитцХыо-Нагумо при соответствующей автомодельной замене переменных. Найдены условия рождения периодических пространственно неоднородных решений системы нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, описывающей модель экологической системы - трофическую цепь длины два. Показано, что переход к диффузионному хаосу в рассматриваемой модели экологической системы осуществляется в полном соответствии с универсальной бифуркационной теорией Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого через субгармонический каскад бифуркаций устойчивых предельных циклов. Разработанные в диссертации подходы и методы анализа решений нелинейных систем дифференциальных уравнений с частными производными диффузионного типа имеют как теоретическую, так и практическую значимость для исследования и управления хаотическими режимами широкого класса автоколебательных и возбудимых сред, подходящих для описания многочисленных сложных физических, химических и биологических систем. Впервые теоретически доказана возможность одновременного существования в системах уравнений с частными производными диффузионного типа бесконечного числа как периодических, так и хаотических решений. Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы на практике при анализе хаотических режимов поведения и подавлении диффузионного хаоса, а также химической и биологической турбулентности в таких практически важных задачах, как управляемый термоядерный синтез и синтез новых элементов в ускорителях заряженных частиц, создание новых веществ в автокаталитичсских химических реакциях и поддержание численности и требуемых характеристик различных сосуществующих биологических видов и экосистем. В работе использованы методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, теории бифуркаций, хаотической динамики, а также численные методы решения нелинейных систем дифференциальных уравнений. Метод фазового пространства анализа решений нелинейных систем дифференциальных уравнений типа реакция-диффузия, описывающих двумерные автоколебательные активные среды.