Математическое моделирование сложных колебаний бесконечно длинных панелей

• Автор: Наркайтис, Герман Германович
• Шифр специальности: 05.13.18, 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 185 с. : ил.

Введение Краткий исторический обзор по теме диссертации

1 Математические модели бесконечно длинных панелей.

1.1 Математическая модель и алгоритм расчета бесконечных упругих панелей с учетом геометрической нелинейности и упругопластических деформаций при внешнем нагружении.
1.2 Алгоритм по учету разгрузки и вторичных пластических деформаций циклическое нагружение.
1.3 Математическая модель и алгоритм расчета бесконечной панели с учетом геометрической нелинейности при параметрическом возбуждении.

Выводы по главе

2 Некоторые методы сведения бесконечномерной задачи к конечномерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

2.1 Метод БубноваГалеркина

2.1.1 Обший подход метода БубноваГалеркина.

2.1.2 Применение метода БубноваГалеркина в задаче колебаний бесконечной панели с учетом геометрической нелинейности

2.2 Метод конечных разностей

2.2.1 Явная и неявная схемы.
2.2.2 Вычисление разностных производных.
2.2.3 Аппроксимация функций и их производных на сетке.
2.3 Псевдоспектральный метод на Чебышевской сетке.
Выводы по главе
3 Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.
3.1 Постановка задачи численного интегрирования
3.2 Метод Эйлера .
3.3 Основные требования предъявляемые к явным методам интегрирования ОДУ.
3.4 Сходимость, порядок аппроксимации, устойчивость.
3.5 Класс методов РунгеКутта.
3.6 Вопрос практической сходимости методов РунгеКутта. . .
Выводы по главе
4 Характеристические показатели Ляпунова.
4.1 Алгоритм вычисления спектра Ляпуновских показателей.
4.2 Упрощение алгоритма на случай системы малой размерности.
4.3 Достоверность результатов полученных на основе анализа
спектра Ляпуновских показателей.
4.4 Анализ устойчивости системы на основе спектра Ляпунов
ских показателей и максимального прогиба
Выводы по главе
Численный эксперимент исследования колебаний бесконечно длинных гибких панелей.
5.1 Численный эксперимент на основе метода БубноваГалеркина.
5.2 Численный эксперимент на основе метода конечных разностей
5.2.1 Сходимость разностной схемы.
5.2.2 Результаты численного эксперимента для задачи с защемлением.
5.3 Численный эксперимент для задачи колебаний бесконечной панели с учетом геометрической и физической нелинейности
Выводы по главе .
Новые аспекты перехода механических систем из состояния регулярных колебаний к хаотическим.
6.1 Существование периодичности Шарковского в хаотических колебаниях бесконечно длинных гибких панелей
6.2 Фазовые переходы хаос гипер хаос гипергипер хаос.
6.3 Достоверность существования зон хаоса, гипер хаоса и гипергипер хаоса
Выводы по главе
Заключение
Литература


В году Холмс и Марсден использовали метод Мельникова для исследования хаотических колебаний балки при внешнем нагружении. Маеваль исследовал с помощью метода малых возмущений и спектра Ляпуновских показателей хаотические колебания эластичной балки под действием периодической внешней силы. Возможность нелинейных колебаний в кронштейнах на основе балки обсуждается в работе . В данной работе также приведены примеры численного моделирования хаотических колебаний нелинейных балок. В Реичи и Дзенг , используя критерий Чирикова , аналитически вывели условие существования хаотических режимов для систем описываемых уравнением колебаний маятника. Нелинейные колебания планарных балок представлены в работах Луо ,. На основе приближенной теории им выведены условия существования хаоса в недиссипативной среде. Эти результаты были получены с помощью критерия Чирикова и метода Мельникова. В году Тсенг и Джунджи опубликовали работу посвященную нелинейным колебаниям пластичной балки под действием периодичной внешней силы. Они применили метод БубноваГалеркина для решения этой задачи. Хаотическое поведение балки под действием внешней силы также рассмотрено в работе Танга и Довела . В году Лбхакар и др. Они рассматривали балку изначально сжатую вдоль оси и затем зафиксированную в этом состоянии. Колебания были обусловлены либо поперечной периодической внешней силой либо начальным прогибом. Для численного решения были применены два метода метод БубноваГалеркина и метод конечных разностей. Численный эксперимент был выполнен для случая, когда амплитуда внешней силы вдоль балки соответствовала основной моде колебаний. В этом случае оба метода давали одинаковые результаты. Вывод о характере колебаний делался на основе анализа фазовых портретов. Были обнаружены каскады удвоения периода. Научная группа Саймондса опубликовала серию статей на тему нелинейных колебаний балок. В Саймондс и Ю рассмотрели следующую задачу зафиксированная с обеих сторон балка подвергается импульсному поперечному нагружению в результате чего происходят пластические деформации. Так как края балки зафиксированы, то продольными силами можно пренебречь. Решая уравнения движения они обнаружили, что прогиб срединной может иметь знак противоположный направлению внешней силы. Этот феномен они назвали аномальным или интуитивнопонятным поведением балки. Данный эффект был экспериментально подтвержден Ли и др. Кольским и др. Подобный феномен был обнаружен Галиевым в задаче расчета пластин и оболочек в условиях подводного и наземного взрывов. Шанли несколько упругих ребер соединенных эластичнопластичными пластинами. Авторы рассматривали следующие характеристики фазовые портреты, сечения Пуанкаре, спектры мощности, Ляпуновские показатели. Баси и др. БубноваГалеркина задачу колебаний круглой пластины и также столкнулись с подобным эффектом. В этой работе было показано, что данный феномен тесно связан с неустойчивостью решения задачи в зависимости от управляющих параметров. В связи с этим возникает вопрос будут ли колебания балки хаотическими или гармоническими. Ли и Саймондс , используя энергетический подход, показали, что для модели с одной степенью свободы колебания строго детерминированы и не могут быть хаотическими. Для моделей с двумя степенями свободы эффект хаоса существует ,. Следует заметить, что во всех работах рассматривалась симметричная балка и модели имели одну или две степени свободы. В году Лию опубликовал статью по колебаниям несимметричной тонкой балки защемленной с обоих концов. Им была рассмотрена модель с тремя степенями свободы и продемонстрированы эффекты аномального поведения и хаотического поведения системы. Несимметричность модели достигалась внесением малого отклонения в начальный прогиб. Динамическое поведение эластичнопластичной балки после короткого импульсного воздействия было рассмотрено Лепиком . Уравнения в частных производных сводились к системе обыкновенных дифференциальных уравнений методом БубноваГалеркина в высших приближениях и методом конечных разностей. Был подтвержден эффект аномального поведения балки.