Модели нестационарной бифуркации в условиях групповой симметрии

• Автор: Макаров, Михаил Юрьевич
• Шифр специальности: 05.13.18, 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 148 с.

Содержание
Введение
1 Построение и исследование эквивалентных разрешающих систем при бифуркации АндроноваХопфа

1.1 Обобщенная жорданова структура и уравнение разветвления

для ДУ 5того порядка.

1.2 Методы Ляпунова и Шмидта построения УР в корневом подпространстве

1.2.1 УРК А.Ляпунова. Теорема о наследовании групповой

симметрии.

1.2.2 УРК Э.Шмидта. Теорема о наследовании групповой

симметрии.
2 Построение и исследование модельных УР бифуркации АндроноваХопфа с симметрией плоских и пространственных кристаллографических групп
2.1 Бифуркация АндроноваХопфа с симметрией дискретных групп по пространственным переменным
2.1.1 Симметрия Сп.
2.1.2 Симметрия
2.2 Задачи о нарушении симметрии при бифуркации АндроноваХопфа. Построение асимптотики разветвляющихся решений .
2.2.1 Прямоугольная рештка
2.2.2 Квадратная рештка.
2.2.3 Гексагональная рештка
2.3 УР с симметрией простой кубической рештки.
2.3.1 Элементарная ячейка октаэдр.
2.3.2 Элементарная ячейка периодичности кубооктаэдр . .
2.3.3 Элементарная ячейка куб.
3 Устойчивость стационарных и периодических решений
3.1 Критерий устойчивости
3.2 Устойчивость стационарных решений
3.3 Устойчивость периодических решений.
3.3.1 Постановка задачи.
3.3.2 Устойчивость периодических решений уравнения первого порядка
3.3.3 Устойчивость периодических решений уравнения 5го
порядка
3.3.4 Устойчивость периодических решений и метод диа
граммы Ньютона .
3.4 Устойчивость стационарных и периодических семейств разветвляющихся решений в условиях групповой симметрии .
Заключение
Библиография


Частные результаты этой теоремы за рубежом названы леммой об эквивариантном ветвлении [3, 4, 1]. Среди зарубежных работ по теории ветвления в условиях групповой симметрии следует прежде всего указать монографии А. Вандербауведе [4], М. Голубицкого, И. Стюарта и Д. Шеффера [3, 4]. Основным инструментом исследований [3,4] является теория особенностей гладких отображений. В русскоязычной литературе детальное изложение этой теории содержится в ряде обзоров В. И.Арнольда, среди которых отметим [1, 2]. Однако, по нашему мнению, развитые А. Д.Брюно методы многогранника Ньютона более эффективны, т. Последовательное применение методов группового анализа дифференциальных уравнений в задачах теории ветвления содержится в работах Б. В.Логинова и его сотрудников (см. Теория С. Л.В. Овсянникова инвариантных многообразий применяется здесь при построении общего вида УР по допускаемой группе. Для нестационарного ветвления - бифуркации Андронова-Хопфа в дифференциальных уравнениях в банаховых пространствах с вырожденным оператором при производной (старшей производной) - доказана теорема о наследовании УР групповой симметрии основного нелинейного уравнения []-[]. На основе уравнения разветвления в корневом подпространстве исследованы тесно связанные с ветвлением решений вопросы устойчивости рождающихся решений [, , 9, , , ]. Исследование бифуркации рождения предельного цикла, т. А.М. Ляпунова () и А. Пуанкаре [, ]. А.М. А.А. Андронов [0] открыл бифуркацию рождения предельного цикла из состояния равновесия при изменении параметров системы и указал на связь этой бифуркации с результатами работ А. М.Ляпунова. В работах Н. Н.Баутина [3, 4] дано обобщение результатов Андронова на системы третьего и четвертого порядков. Условия рождения периодических решений в общем -мерном случае получены Э. Хопфом [5] ( г. Ю.И. Наймарком [] и Н. Н.Брушлинской [5]. В бесконечномерных системах исследование бифуркации рождения цикла выполнено в работах В. И.Юдовича [, ], М. Г.Крандалла и П. Рабиновича [2], Марсдена и Мак-Кракена [], Ж. Иоосса [6], В. А.Треногина []. Бифуркация рождения цикла в системах с симметрией изучалась в работах Д. Рюэля [4], В. А.Вандербауведе [4], Голубицкого и Шеффера [3, 4], Б. В.А. Треногина [, , 9, 0, 1, 1, 2]. Математическое моделирование нелинейных явлений требует исследования устойчивости решений функциональных уравнений, моделирующих конкретные изучаемые процессы в естественно-научных дисциплинах. Основы теории устойчивости решений дифференциальных уравнений заложены А. М.Ляпуновым в начале ХХ-го века. Дальнейшее развитие теории устойчивости связано с именами Н. Г.Четаева, Р. Беллмана, Н. Барбашина, В. М.Матросова, И. Г.Малкина и других российских и зарубежных ученых. В настоящей работе исследуется бифуркация Андронова-Хопфа для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с вырожденным оператором при старшей производной и устойчивость ответвившихся решений. Во всем изложении последовательно развивается идея о том, что группа симметрии диктует определенную модель ветвления. Основой этой идеи служат теоремы о наследовании групповой симметрии первоначальной нелинейной задачи конечномерными эквивалентными разрешающими системами и, в частности, уравнениями разветвления. По допускаемой группе симметрии строится общий вид уравнения разветвления [, , 6, ]. Он оказывается независимым от конкретной физической реализации, меняется только численное выражение коэффициентов уравнения разветвления. В первой главе освещена роль обобщенной жордановой структуры при построении и исследовании уравнения разветвления Ляпунова-Шмидта бифуркации Андронова-Хопфа [, , , 5, , ] (п. Ляпунова и Шмидта в корневых подпространствах, доказывается их эквивалентность и теорема о наследовании групповой симметрии [, , 6, ] (п. Во второй главе для задач с дискретной группой симметрии и задач о нарушении симметрии [, , 9,0,1,1,2, ] на основе методов группового анализа строится общий вид модельного УР, отдельно для решений допускающих симметрию плоских и пространственных кристаллографических групп.