Методы теории канонических моментов в задачах анализа и планирования регрессионных экспериментов

• Автор: Щеколдин, Владислав Юрьевич
• Шифр специальности: 05.13.17
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 200 с. : ил

СОДЕРЖАНИЕ
Введение.

Глава 1. Теория моментов вероятностных мер.

1.1 Введение

1.2 Пространство моментов.

1.3 Канонические моменты

1.4 Определители Гаикеля

1.5 00 алгоритм

1.6 Метод канонических моментов для оценивания параметров распределений

1.7 Выводы

Глава 2. Смежные вопросы в теории канонических моментов.

2.1 Введение
2.2 Опорные полиномы
2.3 Непрерывные дроби и преобразование Стилтьеса
2.4 Специальные последовательности канонических моментов
2.5 Выводы
Глава 3. Теория канонических моментов и оптимальное планирование эксперимента
3.1 Введение регрессионные модели
3.2 Оптимальные планы эксперимента
3.3 1 и воптимальные планы для полиномиальной регрессии
3.4 Планирование экспериментов для многофакторных полиномиальных моделей.
3.5 Выводы.
Глава 4. Регрессионные модели Фурье
4.1 Введение.
4.2 Пространство тригонометрических моментов и канонические представления.
4.3 Канонические моменты мер на круге.
4.4 Преобразование Стилтьеса для вероятностных мер на круге,
ортогональные полиномы и непрерывные дроби
4.5 Планирование экспериментов для моделей тригонометрической
регрессии.
4.6 Выводы
Глава 5. Дискриминация полиномиальных моделей на основе теории канонических моментов
5.1 Введение
5.2 Дискриминирующие планы при геометрическом усреднении
5.3 Дискриминирующие планы при взвешенном усреднении
5.4 Выводы
Заключение.
Список использованных источников


Поскольку С„ состоит из точек вида JXjCn(xi), >0,^Г (^і = 1, для любого г, то из классической теоремы Каратеодори следует, что каждая такая точка может быть представлена через комбинацию не более r-пЧ базисных точек. Сп является непустым п-мерным множеством. Для примера на рис. Сп при п=2. Как показывает следующая теорема, это множество является также пространством моментов. Рисунок 1. Пространство моментов при п=2. Теорема 1. М„= С„. Доказательство. Очевидно, что С„ сМ„. Будем доказывать от противного. Пусть существует точка ? М„, такая что с„еСп. Тогда, поскольку С„ закрытое множество, существует гиперплоскость, строго разделяющая с,1,1 и С„. Другим словами, существует вектор а„ = (а,,. Ь, ±**ЪЪ. Сп =(с,,. Сп. Теперь, если р0 єр есть вероятностная мера, соответствующая С„° = (с? Х‘ Фо=Хаіс? Теорема доказана. Из этой теоремы вытекает следующее важное следствие. Следствие 1. Х| >0(| = 1,г),? I иг<п+1. Определение 1. Выражение (1. Л, - весами или массами. Индекс представления - это величина (сумма), зависящая от особенностей точек спектра - точка, находящаяся внутри (0,1) вносит в общую сумму вклад, равный 1, а концевые точки 0 и 1 вносят в сумму вклад, равный 1/2. Индекс Ых(сп)для точки сп еМ„ определяется как минимум по всем возможным представлениям точки сп. Отметим, что если представление имеет индекс равный ш, то спектр состоит либо из т внутренних точек, либо из (т-1) внутренней точки и двух концевых, а при индексе, равном т+1/2 в спектре имеется т внутренних точек и одна из концевых. Пример 1. В качестве иллюстрации последнего определения рассмотрим двумерное пространство моментов М 2, изображенное на рис. Рассмотрим точку с2 = (? Рз с весами | и * в двух точках | и I. Рисунок 1. Различные представления точки (1/2, 5/). О и 1 соответственно, имеют индекс 3/2. С другой стороны, чтобы представить с2° необходимо как минимум две точки множества С2 и это не может быть осуществлено путем одновременного выбора граничных точек (0,0) и (1,1)(см. Поэтому Idx(c2) = |. Обозначим за ЗМ„ и Int Мп границу и внутренность n-мерного пространства моментов Мп. Int М = {с € M:cn € MnVn е N}. Теорема 1. Их(с„)<|. Доказательство этой теоремы можно найти в [, р. Пример 1. Как было показано выше, точка с? Мг, что подтверждается теоремой 1. Эти точки образуют нижнюю границу пространства моментов М2, верхняя граница которого состоит из точек {(х,х): х е(0,1) }, которые имеют индекс, равный 1. Названия "верхняя" и "нижняя" границы обусловлены рис. Заметим, что если с„ еЗМ„, то соответствующая мера р или представление единственны. Вспоминая определение р(с„) (определение 1. С, = max cn+l(p), с'+| = min спИ(р), (1. Я«Р(С. Ц€? Отмстим, что если максимум и минимум в (1. М„. Теорема 1. Если cn еIntМ„,то c*4l >с~(] и р(с„) несчетно. Доказательство. То, что с„+] >с”+,, следует из того, что Мп,| выпукло и является непустым множеством размерности (п+1). Поскольку каждое значение cn*i elcn-hi*cn+i) соответствует конкретной вероятностной мере рер(сп), то множество ,р(сп) несчетно. Пример 1. Если п=0, то ? Дирака. Пространство моментов изображено на рис. С|,С]) и (с|,с,). Следовательно, легко находятся граничные значения (1. Вычисление с„+! П Покажем теперь, что для любой cn € Int Мп существует ровно два представления с индексом (п+1)/2. Поскольку каждая из точек (сп,с^+1)и(сп,с„+,) находится на границе 5Мп+), то обе они (по теореме 1. Однако Idx(cn)> ", если cn eintМп. Сп+|)и(сп,с”+1) равен точно (п+1)/2. Мп+1,то сп+1(|д) должно равняться либо с^,,либос;4|. Теорема 1. Каждая точка cn eint Мп имеет ровно два представления с индексом (п+1)/2. Они соответствуют единственным представлениям о„ для (cn,cn+i) и °п Д™ (sn»cn+i)- Спектры этих представления должны быть строго чередующимися между собой, причем с„ содержит в спектре точку I, тогда как а~ - нет. Определение 1. Представления о„ и для cn eIntMn называются главными (principal) верхним (ВГП) и нижним (НГП) представлениями соответственно. Если {sj} есть спектр представления о„, а {t;}- а“, то по теореме 1. I, (1.