Квантильные многомерные модели регрессий, основанные на нелинейных дифференциальных уравнениях

• Автор: Орлова, Ирина Сергеевна
• Шифр специальности: 05.13.17
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 160 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Квантильные модели регрессий
1.1 Квантили и медианы вероятностных распределений
1.2 Квантили и медианы как статистические оценки значений случайной величины
1.3 Условные квантили многомерных вероятностных распределений. Квантильные модели регрессий
1.4 Примеры использования квантильной регрессии при обработке
изображений
1.5 Многомерные распределения вероятностей, обладающие свойством воспроизводимости условных квантилей
1.6 Выводы
2 Дифференциальные уравнения Пфаффа для условных
квантилей многомерных вероятностных распределений
2.1 Парные наблюдения и наблюдения полной размерности
2.2 Дифференциальные уравнения Пфаффа для условных квантилей
2.3 Применение теоремы Фробениуса для решения вполне интегри-
руемых уравнений Пфаффа известных многомерных распределений
2.4 Интегральные кривые дифференциальных уравнений Пфаффа
2.5 Применение теоремы Дарбу для решение дифференциальных
уравнений Пфаффа в случае отсутствия полной интегрируемости. Смесь 4-мерных гауссовских распределений с одинаковыми 3-мерными маргиналами
2.6 Решение дифференциального уравнения Пфаффа для смеси 9-
мерных гауссовских распределений с одинаковыми 8-мерными маргиналами
2.7 Использование компьютерной алгебры ("МАРЬЕ-
13 "МАТНЕМАТ1СА-811) для решения и исследования дифференциальных уравнений Пфаффа
2.8 Выводы
3 Приближенное решение дифференциальных уравнений
Пфаффа для условных квантилей многомерных вероятностных распределений
3.1 Приближенное решение дифференциальных уравнений Пфаффа
3.2 Практическая реализация решения уравнения Пфаффа на пуч-
ке лучей, вычисление условной квантили трехмерного распределения Коши

3.3 Численное решение системы дифференциальных уравнений в среде МАТЬ А В
3.4 Вычисление условной квантили для сферически симметричных распределений (интерполяция приближенных решений дифференциальных уравнений)
3.5 Радиальные функции
3.6 Программные реализация приближенного решения уравнения Пфаффа в среде МАТЬАВ и на языке С
3.7 Выводы
4 Линеаризация дифференциальных уравнений
4.1 Линеаризация квантильных уравнений Пфаффа
4.2 Линеаризация обыкновенных дифференциальных уравнений
4.3 Теорема о линеаризация автономных дифференциальных уравнений п - го порядка
4.4 Линеаризация дифференциальных уравнений второго порядка
4.5 Линеаризация дифференциальных уравнений 4-го порядка
4.6 Линеаризация дифференциальных уравнений 5-го порядка
4.7 Линеаризация дифференциальных уравнений 6-го порядка
4.8 Использование компьютерной алгебры ("МАРЬЕ-13 "МАТНЕМАТ1СА-8") в задачах линеаризации и факторизации обыкновенных дифференциальных уравнений
4.9 Выводы
Литература
А Приложение
А.1 Дифференциальные формы
А.2 Координатные формы
А.З Определение внешнего дифференциала
А.4 Вычисление внешних произведений и внешних дифференциалов в системе МАТНЕМАТ1СА
А.5 Уравнения Пфаффа
А.6 Кольцо обыкновенных дифференциальных операторов и его
свойства
А.7 Листинг. Численное решение дифференциального уравнения
Пфаффа. Реализация на языке С
Введение
Диссертация посвящена разработке, исследованию и анализу основных свойств квантильных многомерных моделей регрессий на основе дифференциальных уравнений Пфаффа и данных парных наблюдений; разработке алгоритмов линеаризации дифференциальных уравнений.
Актуальность темы
Главная цель создания регрессионной модели некоторой системы состоит в оптимальном построении функциональной зависимости между наблюдаемыми переменными, характеризующими работу этой системы.
Возникновение регрессионных моделей относят к концу 18 века в связи с астрономическими и геодезическими работами П.С. Лапласа, А.М. Лежандра иК.Ф. Гаусса. Термины регрессия и корреляция впервые появляются в конце 19 века в работах Ф. Гальтона, посвященных генетике и психологии.
В настоящее время регрессионные модели имеют большое многообразие форм, степеней сложности и возможностей применения для решения теоретических и прикладных задач. Регрессионные модели составляют важную часть статистической теории распознавания образов и изображений (K. Fukunaga, A. Webb, S. Li, Р. Qin, L. Devroye, R. Ledley, В.В. Сергеев, В.А. Сойфер, Л.П. Ярославский), методов машинного обучения (E. Parzen, М. Rosenblatt, Э.А. Надарайа, И.А. Ибрагимов, В.Н. Вапник, А.Я. Червоненкис, А.Б. Цыбаков), фильтрации и анализа данных, обнаружения закономерностей в данных и их извлечениях (W. Cochran, J. Tukey, R. Little, D. Rubin, H.Г. Загоруйко, М.Б. Лагутин, Ю.Н. Тюрин).
В основе квантильных статистических регрессионных моделей различных структур и процессов лежит широкое использование математической техники условных медиан и квантилей многомерных вероятностных распределений (J. Tukey, P. Bhattacharya, R. Koenker, P. Chaudhuri, Ch. Thomas-Agan, С.Я. Шатских, О.В. Горячкин). Это связано с появлением новых статистических моделей, в которых ошибки наблюдений имеют негауссовские распределения с "тяжелыми хвостами". Для таких моделей предположение о существовании моментов функций распределения уже не является справедливым. Поэтому в регрессионном анализе и теории фильтрации развивается "безмоментный" подход, в рамках которого условные медианы и квантили, как функции "объясняющих факторов", используются вместо условных средних. Кроме того, по сравнению с оценками наименьших квадратов, выборочные условные медианы и квантили менее чувствительны к появлению резко отклоняющихся наблюдений.
Настоящая работа посвящена разработке новых квантильных многомерных моделей регрессий на основе дифференциальных уравнений Пфаффа и данных парных наблюдений. Таким образом, тематика диссертационной работы является актуальной как с точки зрения развития теории, так и с точки зрения возможных практических приложений.

Так как для векторного поля
Н{хъх2,х3) = {х2 + х3 - 1, 1 - хь 1 - хД, имеет место тождество
(rotH, Н) = О,
то уравнение (2.3.5) вполне интегрируемо.
Решение уравнения (2.3.5). Положим х = С — const, тогда оБд = О, отсюда
(1 — Xi)dx2 + (1 — x)dxz = 0, следовательно хзсПц -Р (1 — Xx)dxz = 0, следовательно хз = С(хi — 1), уфхД = х2 + C(xi - 1) = 1 + С(х 1 — 1),
-l + yfoi)

В результате получаем решение уравнения (2.3.5)
, — 1 -р Х2 -р Х3
*1 = 1 +

1 -р Х°2 "р Хд
-х
решение уравнения (2.3.5), является "большой" условной квантилью 3-х мерного распределения Парето первого рода
XI = д[§'*5)(х2.я:з) = 1 - (1 - <>—
проходящей через точку (х°,Х2,Жз).
Примечание. Уравнение Пфаффа
= , xn,)dxk

сводится к системе п. — 1 дифференциального уравнения с частными проиг водными
дх _ Ai2(xi
дх2 ~ An(j£i
Эх) .1га(Т у п)
— Ди(*1,—«Яп)'
Для примеров рассмотренных выше такие системы уравнений решаются с помощью команды ББоПе пакета МАТНЕМАТ1СА ~ 7.