Оптимальная матричная коррекция несовместных систем линейных алгебраических уравнений и несобственных задач линейного программирования

• Автор: Ерохин, Владимир Иванович
• Шифр специальности: 05.13.17
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 346 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1. Матричная коррекция несовместных систем линейных алгебраических уравнений по минимуму евклидовой нормы

1.1. Постановки задач

1.2. Сингулярное разложение, задача о матричной аппроксимации, наилучшей в смысле минимума евклидовой нормы, и задача 2ма, А,Ь
1.3. Псевдообращеиие, классический метод наименьших квадратов и задача о минимальной по евклидовой норме матрице, разрешающей систему Ах Ь при фиксированных х и Ь
1.4. Условия существования решения задач матричной коррекции и вид множеств решений скорректированных систем
1.5. Дополнительные сведения о задачах 2тсА А,Ь и ХЬ А,Ь, альтернативные формулировки необходимых и достаточных условий существования решения

1.6. Использование взвешенной евклидовой нормы в задачах 2Ма1 А,Ь и 2Гащ А,Ь

1.7. Регуляризация задач матричной коррекции несовместных систем линейных алгебраических уравнений по минимуму евклидовой нормы
2. Матричная коррекция несобственных задач линейного программирования по минимуму евклидовой нормы
2.1. Коррекция несовместной СЛАУ с условием неотрицательности по минимуму
взвешенной с помощью левого и правого умножения на невырожденные матрицы евклидовой нормы
2.2. Достаточные условия собственности скорректированных по минимуму взвешенной с помощью левого и правого умножения на невырожденные матрицы евклидовой нормы несобственных задач ЛП 1го и 3го рода в канонической форме
2.3. Задача минимизации квадратичной формы на единичной сфере с условием неотрицательности и ее использование для решения задач коррекции несовместных СЛАУ с условием неотрицательности по минимуму евклидовой нормы
2.4. Обобщение задач А,Ь и С1А,Ь на случай фиксированных строк
и столбцов при коррекции матрицы расширенной матрицы несовместной СЛАУ с условием неотрицательности решения
2.5. Коррекция несовместных систем линейных неравенств и несобственных задач линейного программирования в формах, отличных от канонической
2.6. Коррекция несобственной задачи ЛП в общей форме с произвольными фиксированными коэффициентами по минимуму взвешенной с произвольными положительными весами евклидовой нормы
3. Матричная коррекция несовместных систем линейных алгебраических уравнений и несобственных задач линейного программирования в обобщенных матричных нормах
3.1. Необходимые сведения о векторных
3.2. Обобщения задачи о решении СЛАУ относительно неизвестной матрицы с минимальной евклидовой нормой на гльдеровы матричные нормы и нормы
3.3. Задачи матричной коррекции несовместных СЛАУ по минимуму г , и
3.4. Регуляризация решений изначально несовместных СЛАУ при матричной коррекции их коэффициентов по минимуму нормы
3.5. Оптимальная матричная коррекция несовместных СЛАУ с условием неотрицательности по минимуму нормы
3.6. Достаточные условия собственности скорректированных по минимуму нормы несобственных задач ЛП 1го и 3го рода в канонической форме
3.7. Практические методы матричной коррекции несовместных СЛАУ с условием неотрицательности по минимуму и норм
3.8. Альтернативная техника матричной коррекции несовместных СЛАУ с условием неотрицательности решения по минимуму взвешенной с произвольными положительными весами нормы
4. Задачи матричной коррекции специального вида. Практические приложения задач матричной коррекции
4.1. Оптимальная матричная коррекция несовместных систем линейных алгебраических уравнений и ограничений несобственных задач линейного программирования 1го и 3го рода с блочными матрицами коэффициентов
4.2. Условия невырожденности матриц и смежные вопросы
4.3. Минимаксная матричная коррекция матричной игры
4.4. Интервальная коррекция непродуктивной матрицы прямых затрат в линейной модели межотраслевого баланса
4.5. Матричная коррекция несовместных систем линейных алгебраических уравнений с матрицами Теплица Ганкеля по минимуму II II и II норм
4.6. Идентификация сигнала в виде суммы экспонент с помощью методов матричной коррекции несовместных систем линейных алгебраических уравнений с матрицами Тплица Г анкеля
4.7. Метод Ньютона для матричной коррекции несовместных систем линейных алгебраических уравнений со специальной структурой по минимуму взвешенной евклидовой нормы
Заключение
Литература


Так, удается выделить большой класс матриц со специальной структурой, к которому, в частности, принадлежат и матрицы Тплица Ганкеля, для которого задачу матричной коррекции по минимуму взвешенной с индивидуальными для каждого коэффициента неотрицательными весами евклидовой нормы удается свести к задаче минимизации дифференцируемой функции. Ньютона для решения задач матричной коррекции несовместных систем линейных алгебраических уравнений со специальной структурой по минимуму взвешенной евклидовой нормы. Лх Ь, 1. Пусть ХА,Ь хАх Ь множество решений системы 1. АГ4 0. Н i ,, 1Л. При этом гшЛ,Ь численное значение нижней грани евклидовой нормы матрицы в задаче ii ,. Если нижняя грань целевой функции в задаче , достигается, будем говорить, что задача Л. Ь имеет решение, которое будем обозначать как Я е ,, где
. В противном случае будем говорить, что задача
не имеет решения. Очевидно, что задача матричной коррекции несовместной системы 1. Поэтому рассмотрим некоторые модификации задачи 2я. Одно из направлений подобных модификаций задачи А,Ь фиксированные не подверженные коррекции строки и столбцы в расширенной матрице системы 1. Ф Iй н
x . Я i
где Хей4, ГК, , 1. В задачах 1. Подсистема Тх в задачах 1. Л 1Л 0 предполагается совместной. Vx е ХА , М , 1. II означает евклидову векторную норму. Аналогичным образом могут быть модифицированы и задачи 1Л. Л Л 0. Введем и поясним некоторые дополнительные обозначения. Пусть е x некоторая симметричная матрица. Как известно, см. Условимся некоторое собственное значение матрицы обозначать как ЛО. I будем обозначать как Лш1п. Х1Ым. Х0,А иХД. О будем использовать обозначение iv. Хф будем использовать обозначение к Я, О. Пусть I е Шх некоторая матрица ранга г. Пусть д ттт,п. Как известно см. УШ 1. Тц т . УГГ г, . Заметим, что при выполнении условия д соотношение 1. Следуя традициям, вместо будем писать т,. Величины т. Г, и для минимального сингулярного числа матрицы и. Как несложно заметить, в силу соотношения 1. ИЛИ, 1. У МКТ, 1. Л Лайсг,2,сг,. К1, М Иаво2,сг. К1, т. СЯУТ это квадраты ненулевых сингулярных чисел матрицы и. Для последующих выкладок нам будет полезна еще одна эквивалентная выражению 1. V Е улЧг. V, , столбцы матрицы . Для полноты изложения заметим, что если числа сг,,сг2,. Если же для некоторого номера 1 к г имеем ак аклЛ . То же самое верно в отношении векторов vi,. I шах 1. Утверждение 1. Евклидова матричная норма является унитарноинвариантной. Утверждение 1. Поскольку мы условились иметь дело только с вещественными матрицами, утверждения 1. Следствие 1. И 2,г 1. Ю
Следствие 1. Р1 i 1. Соотношения 1. Действительно, в силу формулы 1. V I. В силу утверждений 1. ЩВ . И,. НРИг учетом последних соотношений формула 1. I. Формулу 1. Имея в качестве инструментов соотношения 1. Задача о наилучшей в смысле минимума евклидовой нормы аппроксимации заданной матрицы матрицей меньшего ранга. Пусть е некоторая матрица ранга . Утверждение 1. Решение задачи 1. О Е,,СТ,И,Г 1. Неоднозначность решения задачи 1. Рд сг, . Пр. Наибольший интерес для последующих выкладок представляет случай г г 1. Следствие 1. Решение задачи 1. Л у,тУ, 1. Неоднозначность решения задачи 1. В задачах линейной алгебры, требующих минимизации евклидовой нормы векторов и матриц весьма полезным теоретическим инструментом оказывается так называемая псевдообратиая матрица или, как ее еще называют, обобщенная обратная матрица МураПенроуза. Заметим, что для нулевой матрицы размера тхп псевдообратной является нулевая матрица размера пхт. А квадратная невырожденная матрица, то А А 1. Псевдообратиая матрица является удобным способом конструирования ортогональных проекторов в линейные подпространства, натянутые на столбцы и строки матрицы А, а также в линейные подпространства, являющиеся ортогональными дополнениями к указанным подпространствам. Обозначим РЫжА, РтА, Р,т, Ра проекторы соответственно в подпространство столбцов матрицы А, в подпространство строк матрицы А, в подпространство, являющееся ортогональным дополнением к подпространству столбцов матрицы А ив подпространство, являющееся ортогональным дополнением к подпространству строк матрицы А. ЛГ т АА АЛУ А А. ЛГ и Л. Крометого, используя 1.