Асимптотические свойства стационарных распределений телекоммуникационных сетей

• Автор: Рыбко, Александр Николаевич
• Шифр специальности: 05.13.17
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 340 с.

Оглавление
Введение
1 Эргодичность случайных процессов, описывающих работу открытых телекоммуникационных сетей. Жидкостный предел
1.1 Об эргодичности случайных процессов, описывающих функционирование открытых сетей массового обслуживания .

1.1.1 Введение

1.1.2 Формальное описание модели

1.1.3 Сеть с дисциплиной обслуживания РСРЭ

1.1.4 Предельный детерминированный процесс и ого свойства

1.1.5 Доказательство теоремы 1.4

1.1.6 Сеть со специальной приоритетной дисциплиной обслуживания. Контрпример к гипотезе 1.1

1.1.7 Приложение

1.2 Неэргодичность сетей обслуживания при нестабильности их жидкостных моделей
1.2.1 Введение
1.2.2 Некоторые факты и обозначения.
1.2.3 Жидкостная модель. Основной результат.
1.2.4 Доказательство теоремы 1.9
1.2.5 Обсуждение. Примеры.
2 Термодинамический предел для телекоммуникационных се
2.1 Сеги Джексона на счетных графах.
2.1.1 Введение.
2.1.2 Условие единственности мультипликативной фазы . .
2.1.3 Условия единственности инвариантной меры.
2.2 Асимптотическое поведение симметричной замкнутой сети массового обслуживания в термодинамическом пределе .
2.2.1 Введение.
2.2.2 Пространство .
2.2.3 Компактификация пространства
2.2.4 Свойства некоторой системы уравнений в пространстве .
2.2.5 Дифференциальные свойства динамической
системы у У x, у .
2.2.6 Полугруппы и их генераторы
2.2.7 Сходимость полугрупп
2.3 Пуассоновская гипотеза в информационных сетях
2.3.1 Введение
2.3.2 Обозначения
2.3.3 Некоторые результаты работы
2.3.4 Основной результат
2.3.5 Соотношение самоусреднония
2.3.6 Комбинаторика размещения стержней .
2.3.7 десять технических результатов
2.3.8 Свойства регулярности нелинейного марковского процесса
2.3.9 Оценки на ядра усреднения
2.3. Соотношение самоусреднения общий случай.
2.3. Самоусреднение релаксация предварительные соображения
2.3. Самоусреднение релаксация вероятностное доказательство .
2.3. Самоусреднение релаксация случай конечного носителя
2.3. Самоусреднение релаксация случай бесконечного носителя
2.3. Приближение к стационарной точке
2.3. Притяжение к стационарной точке .
2.3. Самоусреднение релаксация зашумленный случай .
2.3. Склейка
2.3. Сходимость средних.
2.3. Окончание доказательства релаксаци и в зашумленном случае.
2.3. Заключение
2.4 Свойство сам оусреднейия систем массового обслуживания .
2.4.1 Введение.
2.4.2 Основной результат
2.4.3 Теорема об усреднении
2.4.4 Доказательство теоремы.
2.4.5 Самоусреднение может не иметь места
3 Пуассоновская гипотеза для симметричных сетей с несколькими типами требований и несколькими типами узлов
3.1 Спонтанные резонансы и когерентные состояния в сетях е
очередями.
3.1.1 Введение.
3.1.2 Модель среднего поля и ее предел.
3.1.3 Сходимость V применение теоремы Троттера
3.1.4 Жидкостные ости .
3.1.5 Эйлеровский предел нелинейного марковского процесса
3.1.6 Основной результат
3.1.7 Заключение
3.2 Справедливость пуассоновской гипотезы. Замкнутые сети при
малой нагрузке.
3.2.1 Введение
3.2.2 Основной результат
3.2.3 Доказательство
Литература


То, 0]}, п > 1, входящих в соответствующие начальные состояния /щ(° п > 1, фигурирующие в условии теоремы 1. ЫП) = 0. То, 0], fik(0) = 0, (i,k) е G}. До) = 1. Естественно предположить, что для любого фиксированного ? L) (или, что эквивалентно, последовательность случайных процессов ? В этом разделе мы не доказываем результат о сходимости процессов. В следующем пункте эти свойства детерминированного процесса будут в некотором смысле перенесены на последовательность случайных процессов /п^' п —У ос. Это позволит доказать теорему 1. Ы0> * > Го, /Л(0, *' > 0, (г, &) € С}, которое удовлетворяет следующим условиям. Для любого (г, к) 6 С, функции /&(? ЫТ0) = 0, 4(0) = 0. Е /«(0) = 1. Ч-гшп[0, ^пт([ш(^)]], 1 > 0, ) е А, (1. Дг) = й,(<)], А > 0, 3 е J¦ (1. МО = ЫЩ'ф)), г > 0, («,? С, (1. Дк-1(*)> 1>0, *>1, *6/. Определение 1. ЛЮ, ? То, <], Ме), € € [0,*], (г, А:) е С? ЫО, € є [То,0], /до), (г, к) Є С}. Теорема 1. Для любого начального состояния (т. То,0], (? СУ}, удовлетворяющего условиям 1 и 2) существует по крайней мере один соответствующий ему детерминированный процесс ? Доказательство этой теоремы легко получить, например, из теоремы Брауэра о существовании неподвижной точки у непрерывного отображения выпуклого компакта в себя (см. Подробности опускаем. Если некоторый детерминированный процесс /^, ? В этом параграфе мы докажем следующую теорему, относящуюся к детерминированному процессу /М и являющуюся аналогом теоремы 1. Теорема 1. Существует такая константа Т > 0, что для любого детерминированного процесса /М, соответствующего произвольному начальному состоянию выполняется аае. Ш=0, У? Для доказательства теоремы 1. Ал(*) = /»№, *»№ = &(*), * > 0, (і, Л) є с. Эти последние производные существуют почти всюду (по мере Лебега) на интервале [0,оо). Ті, Т2). Ап(*) = А*, > 0, і Є /. В леммах 1. Обозначим для краткости Є] = {а, в} С/х {1,2}, т. Лемма 1. Л«,-^^-], У*>Г„ (1. Лемма 1. Дая. Vi > Г3. Доказательство теоремы 1. Выпишем явно условия (1. Ait? Ait? А2г? Рассмотрим произвольный детерминированный процесс t > 0, соответствующий произвольному начальному состоянию /^. Используем леммы 1. А^Д*) и А(*). U) _ п *Л(1) _ 7. А,>^1г(*А? W = . A^J) = шт[А2,? А1? А&} = Ы. Согласно лемме 1. О < 2 і < Т2 < . Тт < . А&} < МО < *АЙ°. ДЙП) 7 . Аи < Аь (1. А < Аг, (1. Аі2 > Аь (1. АЙ° I *А > Л2, (1. Лі2, *Л', *Аі2, *А;и} удовлетворяют уравнениям (1. Верно следующее утверждение. Лемма 1. Аіц + * А ^ < 1> (1. А1 4- * А ^ < 1- (1. Доказательство см. Пусть, например, выполняется неравенство (1. Ац(Ог, + ^^)^ < Аі'Уц + *А^г^2 < 1> V# > Тт. Тогда, согласно лемме 1. О, АСО = Ац(? Аі, VЬ>Т. Наконец, используя лемму 1. Ы1 = о, ю>г. Теорема доказана. Доказательство теоремы 1. Основная идея доказательства теоремы 1. Введем следующие обозначения. A(t,t2) = A(t 2) — A(? Л?(? G [Ti, T2], ? Hm P{/? A-e)(t2-t1)} = l. Ti < Т2 < , означает, что V? Рь ? Р{/й(? А 4- ? A?(? A, V? ASW оо. Имеют место следующие вероятностные аналоги лемм 1. Здесь также рассматривается фиксированный узел д € 7, < = {а,/? I > 0, фигурирующая в формулировке теоремы 1. Лемма 1. Для любой константы 7 > 0, существует константа Т2 — Т2^1) такая, что ec. A~(t) > min La«. Vt > Г2, (1. L *«Va + X? A?(0 < . Vt > T, (1. H“ A? Лемма 1. Для любой константы Т > 0 и любых констант *AQ и *? Pi = *Ааг>0 + *X? V? < 1, существует такая константа Тз = Тз(2’ь */? A?(0 = A? AQ, > Гз Af(t) = A? Заменяя всюду в доказательстве теоремы 1. Л,*(? А^(? AJ? A?? О, п -> , V? Семейство случайных величин || 0. Q{t) становится неприводимым.