Вычислительные методы и компьютерное исследование задач с пограничными слоями в математических моделях гидродинамики водоемов

• Автор: Скляр, Сергей Николаевич
• Шифр специальности: 05.13.16
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Бишкек
• Количество страниц: 404 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСШК СХЕМ ДЛЯ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПОГРАНИЧНЫМИ СЛОЯМИ.

ГЛАВА 1. СЕТОЧНЫЕ ОПЕРАТОРЫ МОНОТОННОГО ВИДА.

1.1. Некоторые классы операторов монотонного

вида и принцип максимума

1.2. Априорные оценки решений сеточных

уравнений.

1.3. Метод решения системы уравнений 1.,

основанный на сведении к задаче Коши

ГЛАВА 2. ПРОЕКЦИОННЫЙ ВАРИАНТ ИНТЕГРОИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО
МЕТОДА.
2.1. Задача с начальными условиями для
уравнения первого порядка.
2.2. Двухточечная краевая задача для несамосопряженного уравнения без младшего члена
2.3. Двухточечная краевая задача для несамосопряженного уравнения с младаим членом.
2.4. Двухточечная краевая задача для самосопряженного уравнения
2.5. Двухточечная краевая задача для несамосопряженного уравнения в консервативной
2.6. Двумерное эллиптическое уравнение
в градиентной форме
2.7. Двумерное эллиптическое уравнение с
дивергентной формой младших членов.
2.9. Аппроксимация по времени в параболических задачах.
ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ РН ВЕРСИИ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ К РЕШЕНИЮ СИНГУЛЯРНОВОЗМУЩЕННОЙ
КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ.
3.1. Формулировки основных результатов.
3.2. Описание рЬ. версии МКЭ для задачи 3.1
3.3. Исследование сходимости в узлах сетки
3.4. Оценки сходимости в энергетической норме
и норме пространства С 0,1
ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ
4.1. Экспериментальное определение порядка равномерной сходимости. Несамосопряженные
тестовые задачи.
4.2. Самосопряженные тестовые задачи
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ
В ГЛУБОКОМ ВОДОЕМЕ
ГЛАВА I. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЕРТИКАЛЬНОЙ
ОКЕАНИЧЕСКОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
1.1. Система уравнений Ь8 модели
турбулентности
1.2. Анализ вспомогательной системы уравнений .
1.3. Выбор констант С13 в случае однородной
бездийузионной Ь6 модели.
1.4. Аппроксимация задачи 1.1 1.6
ГЛАВА 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В
ГЛУБОКОМ ВОДОЕМЕ
2.1. О вычислении баротропкых составлящих
движения в моделях общей циркуляции океана2 2.2. Многоуровенная гидротермодинамическая
модель глубокого водоема .
2.3. Построение разностных схем для уравнений интегральной функции тока и уровенной поверхности океана
ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕРМОДИНАМИКИ ВОДОЕМА
ВЫТЯНУТОЙ ФОРШ.
3.1. Постановка задачи
3.2. Дискретная модель
3.3. Интегральные законы изменения основных
характеристик .
3.4. Результаты численных расчетов
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА


Очевидны следующие свойства операторов монотонного вида. ЧТО и(С) ^ О при С 6 0), или, что эквивалентно, из соотношения Аи(С) ^0 (? С є оз). ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Оператор А (1. Аф(С) = а(? Аф(С) = о, то найдутся: точка А, е со такая, что Аф(Я. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Оператор А (1. С,р) ^ о для всех С ? А’ф(р) =о, то найдутся: точка ц ? А’ф(ц) > о и последовательность (2П>? Отметим, что определения 1. И 1. ТЕОРЕМА 1. Пусть Ь - произвольная весовая функция, удовлетворяющая условиям (1. А* - оператор, сопряженный к А относительно скалярного произведения (1. М-оператором тогда и только тогда, когда А* является М*-оператором. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Это утверждение следует непосредственно из определений 1. N"(7) Н (с € и I 7(0 < о). ТЕОРЕМА 1. М и М*-операторы являются операторами монотонного вида. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть А - М-оператор. Предположим, что для некоторой сеточной функции и ? С € (о имеют место неравенства Аи(0 ^ 0. Достаточно доказать, что тогда и(С) ^ ^ о для С € оз. С i М(у), то у(С) > 0; (1. С а М(у), то Аф(С) = о. Действительно, (1. С ) > о. Для доказательства (1. Ц)]? Последнее неравенство в (1. М(7). Теперь (1. Рассмотрим С с М(у), в силу (1. А<р(? С, гп = а(гк_1,2к) * О, к = 1,2,. А<р(М > о. Рассуждая по индукции, покажем, что к € М(т). М(у). Аф(Л. X в определении 1. Теорема для М-операторов доказана. Предположим, что А удовлетворяет условиям определения 1. Для любого С € ш определим функцию g? O(C,T)). В силу теоремы 1. А* является М-оператором, а значит, как только что доказано, оператором монотонного вида. Так как U - конечномерно, то уравнение (1. T)) ^ О ДЛЯ C, Т) ? ТЕОРЕМА 1. Принцип максимума). Рассмотрим М-оператор А и сеточную функцию U ? Г) € Д*(Аи)| > 0. Йу і у « М"(Аи)} < 0. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем утверждение 1). Аи = о. Для доказательства утверждения 1) достаточно показать, что М(у) П ГГ(Аи) ф 0, где V н и / ф. Пусть это не так, тогда для любого С е М(у) Аи(0 = 0; соотношения (1. М(у) обладает свойством (1. Теперь дословно повторяя дальнейшие рассуждения теоремы 1. Для доказательства утверждения 2) положим V/ н -и. Следующее утверждение является очевидным следствием определения 1. ТЕОРЕМА 1. Теорема сравнения). Предположим, что А-оператор монотонного вида; и, у е и. Если для любого С € со ! Аи (С) I ^ Ау (О, то для любого б е о ! Априорные оценки решений сеточных уравнений. ТЕОРЕМА 1. Предположим, что А - линейный оператор монотонного вида. Тогда уравнение (1. Геи. Если V е и такова, что Ау(? С € со, то для решения уравнения (1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Однозначная разрешимость уравнения (1. Пусть g^(т)) - функция Грина оператора А (см. В силу (1. Аи(С) = Г(С). С 6 0). Пусть тс с и такова, что А*тс(0 ^ а* > о при С € со, тогда для решения уравнения (1. С)=И(С), Ссш. Т)? V) = 7(0, с € ш, (1. Теперь ИЗ (1. СЦ^ < / а, и оценка (1. Для доказательства (1. Заметим, что сопряженный к С оператор С* является оператором Грина (или обратным) для А*. Так как А*, вместе с А, оператор монотонного вида, то в силу только что доказанного, |6*|ю ^ 1теЦ / а*. Последняя оценка, вместе с (1. В некоторых случаях для задачи (1. С этой целью ограничимся рассмотрением трехточечной разностной схемы. Пусть со = (о,1,. Си^о над о; в пространстве и фиксируем весовую функцию И, удовлетворяющую условиям (1. А1и1-1 + В1и1 - С1и1+1 = 1±’ 1 = 1»2,. Ы-1; (1. В дальнейшем будем предполагать, что В0 # 0, Ву Ф 0. Введем следующие обозначения: Б0 = В0 - С0, Б1 = В^^ - А± - С± (1 = 1,2. Ск - Ь1с+1А1с+1, -'V Т ьн” ^=1,1+1,. ТЕОРЕМА 1. Предположим, что коэффициенты системы (1. В0 ^ С0, В± ? А± + С± при 1 = 1,2, — ,N—1; BN ^ Ajj? Si + тахСо. К0 н (h0S0 + шахсо. К s Г min Гтах(о,р. S. + max{o,p. Прежде чем приступить к доказательству теоремы 1. Рассмотрим формулы метода прогонки, предложенные в [5] для вычисления решения системы (1. N . Для 1 = 1,2,. Предположим, что для коэффициентов системы (1. X и ц. Обозначим символами X, и ц - максимальные корни уравнений ? Х) = X и 0±(ц) = р. Следующее утверждение содержит оценки прогоночных коэффициентов в (1. ЛЕШ 1. Предположим, что коэффициенты системы (1. Р±(А.