Методы, алгоритмы и программы приближенного решения задачи управления

• Автор: Сачкова, Елена Федоровна
• Шифр специальности: 05.13.11, 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Переславль-Залесский
• Количество страниц: 146 с. : ил.

Оглавление
1 Введение

1.1 Основные определения и постановка задачи управления.

1.2 Обзор литературы по управляемости

и методам решения задачи управления

1.2.1 Управляемость автономных систем.

1.2.2 Методы решения задачи управления

1.2.3 Программные средства для решения задачи управления

1.3 Краткое содержание работы

2 Явные формулы и алгоритмы для решения задачи управления нильпотеитной системой

2.1 Простейшие классы управлений.

2.1.1 Кусочнопостоянные управления
2.1.2 Тригонометрические управления
2.2 Оптимальные управления.
2.2.1 Постановка задачи и схема решения
2.2.2 Принцип максимума Понтрягина
2.2.3 Исследование оптимальности экстремальных траекторий.
2.2.4 Явные формулы для оптимальных процессов.
2.3 Комбинированные управления.
2.3.1 Геометрическое свойство симметричной системы
2.3.2 Метод комбинированного управления.
2.3.3 Теорема о подходящих векторных полях
2.3.4 Алгоритмы построения управлений.
2.3.5 Комбинированные управления, построенные с помощью векторных полей типа центр
2.3.6 Комбинированные управлении, построенные с помощью векторных полей типа фокус
2.3.7 Комбинированные управлении, построенные с помощью постоянных полей.
2.3.8 Основные формулы параграфа
2.4 Основные результаты главы.
3 Алгоритмы приближенного решения задачи управления
3.1 Теоретические сведения
3.2 Каноническая нильпотентная аппроксимация
3.3 Вычисление коэффициентов аппроксимации
3.4 Замена переменных, приводящая нильпотентиую аппроксимацию
к симметричной системе
3.5 Последовательный алгоритм решения задачи управления.
3.6 Параллельные алгоритмы для решения задачи управления
4 Программный комплекс МИрСо1го1 для решения задачи управления
4.1 Описание программы Ешс1Соп1го.ос
4.1.1 Описание программных модулей программы Ппс1Соп1го1Ьос .
4.1.2 Схема программы Етс1СопЬго1Ъос.
4.2 Программный комплекс i..
5 Апробация и анализ работы программ решении задачи управления
5.1 Управление мобильным роботом па плоскости.
5.2 Управление ориентацией катящейся сферы .
5.2.1 Пример работы программы ЕтсЮоШгоНюс.
5.2.2 Анализ работы программы Ешс1СопЬго1Ьос.
5.3 Системы с трехмерной орбитой
5.3.1 Метод карт.
5.3.2 Метод аппроксимации скобки Ли
5.3.3 Сравнение алгоритмов 3 и 4.
5.4 Управление предельной системой для двухзвенного манипулятора
5.5 Рекомендации но использованию ПК ШрСогйго1.
6 Заключение Основные результаты диссертации
Список иллюстраций
Список таблиц
Литература


Определим также линейное пространство, образованное значениями в фиксированной точке х е 1$п векторных полей из алгебры Ли 1лс(Хь. Ые1(Х1>. Хт) =эрап{Л'(а;)| X е Ые(Х1}. Хт)} = врап(Х{(х), [Х{, Х^х),. Теорема Рашевского-Чжоу [2,] дает критерий полной управляемости аналитических систем (1. ШтЫе*^! Хт) = п Ух <Е Ип. Условие (1. Естественным достаточным условием для условия полного ранга (1. Х{х)г Хъ^х), [ХьХ2](ж) линейно независимы для всех х € К3. Заметим, что системы (1. В данной диссертации рассматриваются гладкие управляемые системы (1. Для таких систем исследуется точное (1. Свойство управляемости является одним из ключевых структурных свойств управляемых систем. Для упрощения формулировок далее все управляемые системы считаются аналитическими, то есть их правые части всюду представляются сходящимися рядами Тейлора от переменных состояния и управления. Для управляемой системы (1. Мп называется достижимой из точки х° € ЗХ”, если существует траектория этой системы х(1), ? О, Т], для которой х(0) = гг0, х(Т) — х1. Кп достижима из любой точки в Кп. Наконец, Эта система называется локально управляемой в точке х° € П? Я, АВ, А2 В,А4'1 В) = п. Для нелинейных систем (1. Ах + Ви, Л = — (хецно), В = —{х 0,м0), Х(х0,и0) = 0, (1. Л. Маркус [,]). Однако нелинейная система может быть локально и даже вполне управляемой, имея при этом неуправляемую линеаризацию. Х^{х), х € Еп, и = (и),. Е и С Кт. Ряд необходимых условий и достаточных условий локальной управляемости нелинейных систем был получен с помощью методов геометрической теории управления (см. X. Суссмаиа []; кпити А. Исидори [], X. А. Ban дер Шафта [], В. Джарджевича [], А. А. Аграчева, Ю. Л. Сачкова [2]). Система (1. Кп, если множество точек, достижимых из х°, имеет непустую внутренность (то есть содержит открытое множество). Система (1. Лежо(Х0,. Хгп) = АГт)}, (1. X. Суссмана и В. Джарджевича [, ], а также киш у А. А. Аграчева, . Л. Сачкова [2]. Дальнейшие результаты по локальной управляемости аффинных по управлению систем представлены, например, в работах А. Кренера [], X. Суссмаиа [,), А. А. Аграчева [,), А. А. Аграчева и Р. В. Гамкрслндзе [, ], М. Кавски [], А. И. Третьяка []. Имея ввиду важность рангового условия (1. Ж. П. Ломоида и Ж. Ж. Рислера [,]. Для линейных по управлению систем (1. Во-первых, все такие системы имеют неуправляемую линеаризацию (1. Uibiy bi = Xi(x°), х € Rn, и = (? Во-вторых, для систем (1. Вопрос полной управляемости нелинейных систем (1. Известен, пожалуй, только один общий (и тривиальный) факт: если система локально управляема в любой точке пространства состояний, то она и вполне управляема (очевидно, верно и обратное утверждение). Более детальные условия полной управляемости получены лишь для специальных классов нелинейных систем: для билинейных систем и инвариантных систем на группах Ли (см. В. Джарджевича [], Ю. Л. Сачкова []), для консервативных и потенциальных систем (см. К.Лобри [,] и Д. Аельса []). Предложенный А. Другое плодотворное направление анализа полной управляемости нелинейных маломерных систем основано па теории слоений (см. С. . Емельянова, С. К. Коровина, С. В. Никитина [-,)). Если система (1. Еп достижима из точки х° 6 1КП для этой системы, то естественно возникает следующая конструктивная версия вопроса об управляемости: как найти траекторию этой системы х(? Решение двухточечной граничной задачи управления (1. Если это решение не представляется возможным найти явно или в виде вычислительного алгоритма, то можно ограничиться приближенным решением задачи (1. Будем далее рассматривать наиболее близкий к теме данной диссертации класс линейных по управлению систем (1. Исследования по конструктивным методам решения задачи управления для систем вида (1. Следуя идущей из классической механики традиции [,,], необходимо четко разделять этот класс на два подкласса: голопомпые системы (для которых ограничения на скорости (1. F(x) = 0), и пеголономные системы (для которых такое интегрирование невозможно). Предположим, для простоты изложения, что исследуемая система (1. Lie*(Xi,. Хт) — п для всех х), поэтому вполне управляема. Xі. Xі!