Разработка и реализация основанных на интервальной арифметике алгоритмов компьютерного исследования динамических систем

• Автор: Терентьев, Сергей Валерьевич
• Шифр специальности: 05.13.11
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 143 с. : ил.

Содержание
Введение

Глава 1 Локализация инвариантных множеств

динамических систем

1.1 Основные определения

1.2 Основные понятия интервальной арифметики.

1.2.1 Интервальные расширения вещественных функции

1.2.2 Вычисление арифметических выражений в компьютерной

арифметике.

1.2.3 Интервальный метод эго порядка типа РунгеКутта

1.3 Алгоритм локализации инвариантных множеств.

1.4 Численные эксперименты.
1.4.1 Отображение Икеда
1.4.2 Система О. Юнге
1.4.3 Уравнение Дуффинга.
1.4.4 Отображение Хенона.
1.4.5 Отображение с задержкой
1.4.6 Система ВандерПоля.
Глава 2 Построение нсевдотраекторий,
проходящих через заданные точки
2.1 Постановка задачи
2.2 Алгоритм построения траекторий с 5 .
2.3 Алгоритм построения Траекторий с 6 , е 7 .
2.4 Применение константы Липшица.
2.5 Численные эксперименты.
2.5.1 Нелинейная система на плоскости.
2.5.2 Отображение с задержкой.
2.5.3 Отображение Хенона
2.5.4 Уравнение Дуффинга
2.5.5 Система О. Юнге.
Глава 3 Использование метода смешанных вычислений
3.1 Постановка задачи
3.2 Основные определения
3.3 Язык описания динамических систеъл ОБ 1ЭЬ
3.4 Компилятор языка ОБОЬ
Глава 4 Особенности реализации
4.1 Модули смешанных вычислений
4.2 Локализация инвариантных множеств динамических систем .
4.2.1 Приложение ЬМ
4.2.2 Приложение 1ЭЬМ с поддержкой Ядеревьев
4.2.3 Приложение 1БЬМ 2.0 с поддержкой оптимального хране
ния ячеек
4.2.4 Сравнительные характеристики производительности при
ложений КЬМ 2.0, КЗЬМь, ИЗЬМЫ.
4.2.5 Обзор методов построения образа ячейки.
4.3 Построение псевдотраекторий,
проходящих через 2 заданные точки
Заключение
Список литературы


Сунага заслуживает внимания еще и потому, что он стал основателем алгебраического формализма интервальных вычислений, а также привел примеры применений новой техники в численном решении алгебраических уравнений и задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. В г. Р. Мура [], а в г. В нашей стране история развития интервальных методов связана с именем видного русского советского математика и педагога В. М.Брадиса. В г. Л. . В. Канторович писал, что эта тематика является приоритетной для вычислительной науки, поскольку может быть использована для повышении точности и надёжности численных алгоритмов. С созданием настоящей школы исследователей по интервальным вычислениям в нашей стране связаны имена Н. И. Яненко и его ученика Ю. И. Шокина, написавшего первую на русском языке книгу [] но интервальному анализу. Методы численного решения задач с помощью интервальной арифметики подробно описаны в работах [, , ]. В работе [] с целью обеспечения доказательных вычислений на ЭВМ был разработан и реализован алгоритм аппроксимации вещественных функций линейными сплайнами, на основании которого был создан пакет' функционально-интервальной арифметики, позволивший решить ряд вычислительных задач. Возникнув первоначально как средство автоматического контроля ошибок округления на ЭВМ, интервальные методы впоследствии стали одним из разделов современной прикладной математики и являются новыми аналитическими методами для теоретических исследований. Непосредственное применение этих методов в вычислительных процессах позволяет определить интервалы, в которых лежат решения задач, входные данные которых лежат в некоторых интервалах. При этом в интервалы-решения включаются и ошибки округлений, возникающие в процессе вычислений. Именно благодаря возможности получить строгие оценки на интервалы существования решения, метод интервального анализа в применении к исследованию поведения динамических систем со сложным поведением траекторий в последние годы стал активным инструментом исследования. Компьютерные методы решения различных задач с помощью интервальной арифметики подробно описаны в работах [, , , , ]. Следует отметить работу У. Такера [], в которой было доказано, что для классических значений параметров в системе Лоренца [] имеется аттрактор. У. Такер разработал алгоритм, основанный на использовании интервальной арифметики с направленным округлением, позволяющий находить точные решения большого класса обыкновенных дифференциальных уравнении. Подход Такера при исследовании системы Лоренца был основан на комбинации аналитических и компьютерных методов: строгих вычислений и теории нормальных форм. Авторы работы [] успешно применяют методы интервальной арифметики для компьютерного доказательства существования хаоса в системе Лоренца. Статья [] посвящена подробному исследованию отображения Икеда, оценке верхней границы инвариантного множества, локализации неблуждающего множества и периодических орбит небольшого периода. Последнее выполняется с использованием интервального оператора Кравчука. Данная работа посвящена разработке алгоритмов исследования динамических систем, основанных на использовании методов интервальной арифметики и символического образа. При этом символический образ не строится, связь ячейка-образ(т. Разработаны и реализованы два способа оптимизации представления данных. Реализовано несколько интервальных расширений вещественной функции. Для использования динамической генерации кода был разработан язык описания динамической системы, реализован его компилятор. Проведены численные эксперименты, которые показывают преимущества интервального метода, скорость выполнения возрастает в несколько раз. Основные задачи. Локализация инвариантных множеств. В работе разработаны и реализованы версии алгоритма с перечисленными ниже оптимизациями. Представление исходных данных. Используется целочисленная система координат, все ячейки имеют одинаковый размер, каждая представлена вектором координат левого верхнего угла. При первом способе хранения для оптимизации алгоритма локализации инвариантных множеств используется специальная структура хранения данных — Л-деревья.