Игровые методы оптимизации вероятностных функционалов и их применение к решению аэрокосмических и экономических задач

• Автор: Кан, Юрий Сергеевич
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 221 с. : ил

Оглавление
Введение

1 Свойства вероятностных функционалов

1.1 Формы записи вероятностных функционалов

1.2 Непрерывность вероятностных функционалов

1.2.1 Непрерывность вероятностных функционалов по параметрам. .

1.2.2 Непрерывность вероятностных функционалов по управлениям. .

1.2.3 Гладкость функций вероятности и квантили

1.3 Свойства выпуклости функций вероятности и квантили.

1.3.1 Квазивогнутость функции вероятности и квазивыпуклость функции квантили

1.3.2 вогнутость функции вероятности

1.3.3 Выпуклость функции квантили.
1.4 Выводы к главе 1.
2 Аппроксимация вероятностных функционалов
2.1 Двухсторонние границы для вероятностных функционалов. Обзор результатов.
2.2 Двухсторонние оценки квантилей распределения квазивыпуклых и вогнутых функций потерь.
2.2.1 Понятие замкнутого аядра вероятностной меры. Свойства ядра.
2.2.2 Оптимизация функции потерь на замкнутом оядре вероятностной меры.
2.3 Глобальные двухсторонние оценки вероятностных функционалов. .
2.3.1 Классический случай.
2.3.2 Обобщенный случай.
2.4 Выводы к главе 2.
3 Методы оптимизации функционала квантили
3.1 Обзор известных результатов.
3.2 Сведение задачи квантильной оптимизации к игре двух лиц с непротивоположными интересами
3.3 Стохастический квазиградиентный алгоритм минимизации функции квантили.
3.4 Эквивалентность вероятностных задач оптимизации
3.4.1 Классический случай.
3.4.2 Обобщенный случай.
3.5 Минимаксная аппроксимация задач квантильной оптимизации с вогнутыми по случайным параметрам функциями потерь.
3.6 Выводы к главе 3.
4 Управление с вероятностными функционалами
4.1 Краткий обзор известных результатов
4.2 Оптимальное управление с обратной связью по квантильному критерию.
4.2.1 Дискретные системы
4.2.2 Стохастическая задача терминального управления. .
4.3 Стабилизация квазилинейной системы при неопределенных и случайных возмущениях
4.3.1 Постановка задачи.
4.3.2 Исследование задачи оценки состояния
4.3.3 Решение задачи стабилизации.
4.3.4 Решение задачи стабилизации при полных наблюдениях
4.4 Стабилизация квазилинейной системы со случайными ошибками в канале управления
4.4.1 Постановка задачи.
4.4.2 Синтез закона стабилизации
4.4.3 Случай гауссовской помехи.
4.5 Выводы к главе 4.
5 Принцип равномерности
5.1 Постановка задачи
5.2 Некоторые предварительные результаты.
5.3 Минимизация функционала вероятности
5.4 Анализ чувствительности принципа равномерности.
5.5 Выводы к главе 5.
6 Решение прикладных задач
6.1 Коррекция орбиты геостационарного ИСЗ.
6.2 Оптимальное управление по квантильному критерию движением материальной точки
6.2.1 Постановка задачи
6.2.2 Сведение квантильной задачи к вероятностной.
6.2.3 Численное решение уравнения Беллмана
6.2.4 Тестовы пример.
6.3 Оптимальное управление по квантильному критерию движением математического маятника
6.3.1 Постановка задачи.
6.3.2 Численное решение уравнения Беллмана
6.3.3 Тестовый пример.
6.4 Оптимизация площади ВПП.
6.4.1 Задача стохастического программирования с вероятностным ограничением
6.4.2 Эквивалентная задача квантильной оптимизации
6.4.3 Гарантирующее решение.
6.4.4 Результаты численных расчетов.
6.5 Формирование портфеля дисконтных ценных бумаг.
6.5.1 Модель оптимального портфеля.
6.5.2 Аппроксимация задачи оптимизации портфеля.
6.5.3 Оценка допустимого риска
6.5.4 Результаты численных расчетов.
6.6 Формирование портфеля ценных бумаг с бесконечным временем жизни.
6.6.1 Постановка задачи и некоторые предварительные результаты. .
6.6.2 Задачи квантильной оптимизации с вероятностными ограничениями
6.6.3 Задачи квантильной оптимизации с континуальным семейством
вероятностных ограничений
6.6.4 Заключительные замечания
6.7 Оптимизация структуры портфеля ценных бумаг смешанного типа. . .
6.7.1 Постановка задачи.
6.7.2 Решение задачи оптимизации комбинированного портфеля. . . .
6.7.3 Результаты тестовых ранетов.
6.8 Выводы к главе
Заключение
Литература


Доказывается, что максимизация вогнутой по случайному вектору функции потерь на регулярном замкнутом аядре приводит к построению мажоранты функции квантили, наилучшей среди мажорант, полученных доверительным методом с использованием замкнутых выпуклых адоверительньгх множеств. Отметим, что в отличие от адоверительных множеств, используемых в доверительном методе, замкнутое аядро не является доверительным множеством. Устанавливается, что функция квантили в случае линейной по случайным параметрам функции потерь оказывается выпуклой. В этом случае предлагается также явное выражение для функции квантили в виде максимума функции потерь на регулярном замкнутом аядре. Из этого выражения, в частности, вытекает, что квантиль, как функционал на пространстве случайных величин, обладает некоторыми свойствами нормы. ДДи, а шФаи. Показывается, что эти функции являются по сути взаимно обратными в некотором обобщенном смысле. В результате строятся глобальные двухсторонние оценки для каждой из этих функций с использованием аналогичных оценок для другой. Эти оценки справедливы как для классических, так и для обобщенных вероятностных функционалов. В третьей главе предлагаются новые игровые методы решения задач оптимизации вероятностных функционалов. Сначала рассматривается конечномерная задача квантильной минимизации, которая при выполнении ряда условий сводится к поиску точки равновесия по Нэшу в игре двух лиц с непротивоположными интересами. Первый игрок стремится максимизировать функцию вероятности путем выбора стратегии и. Целью второго игрока является выполнение условия Рри а за счет выбора параметра р И1. Исследуются свойства этой игры. Точка Нэша однозначно определяет как оптимальную стратегию, так и оптимальное значение функции квантили для исходной задачи квантильной минимизации. Алгоритм зависит от ряда параметров, задаваемых с использованием доверительного метода. Далее этот игровой подход распространяется на общий бесконечномерный случай. Центральным результатом третьей главы являются условия эквивалентности задач оптимизации вероятностных функционалов, основанные на глобальных двухсторонних границах функций оптимальных значений вероятностных функционалов. Эквивалентность позволяет в общем случае свести задачу квантильной минимизации к задаче максимизации функционала вероятности и задачу максимизации функционала вероятности к задаче квантильной минимизации. Условия эквивалентности обосновываются отдельно для классической и обобщенной форм записи вероятностных функционалов. Предлагаются достаточные условия оптимальности и оптимальности стратегии и последовательности стратегий в задаче квантильной минимизации. Отметим, что предлагаемые условия значительно слабее своего прототипа, предложенного в , и охватывают намного более широкий круг задач оптимизации вероятностных функционалов. В главе исследуются также конечномерные задачи квантильной минимизации с вогнутвми по случайным параметрам функциями потерь. Для решения таких задач предлагается метод минимаксной аппроксимации, основанный на замене исходной задачи квантильной минимизации минимаксной задачей, в которой внутренний максимум берется по реализациям случайных параметров на регулярном замкнутом аядре вероятностной меры, а внешний минимум по допустимым стратегиям. В случае линейной по случайным параметрам функции потерь такая аппроксимация является точной. В четвертой главе рассматриваются различные постановки задач управления стохастическими системами с обратной связью. Сначала рассматривается задача оптимального управления дискретными стохастическими системами с конечным горизонтом по квантильному терминальному критерию качества. Отметим, что вероятностное ограничение Ри а, участвующее в определении функционала квантили, приводит к формальной неприменимости метода динамического программирования для определения оптимального управления и к нетривиальности проблемы существования оптимального управления или оптимизирующей последовательности управлений в классе функций текущего состояния, хотя сама управляемая система обладает марковским свойством.