Оптимальное управление линейными и квазилинейными системами с фазовыми ограничениями

• Автор: Семыкина, Наталья Александровна
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Тверь
• Количество страниц: 100 с. : ил

СОДЕРЖАНИЕ
Введение

Глава I. Модели оптимального управления процессом погашения

инфекционного заболевания

1. Моделирование процесса инфекционного заболевания в неоднородном сообществе

2. Дискретная аппроксимация задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями

3. Численное решение задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями.

Глава II. Линейная задача оптимального управления с фазовыми

ограничениями

Г Постановка задачи

2. Процесс погашения заболевания в двух социальных группах аналитическое решение.

3. Построение приближенного оптимального решения задачи численными методами.
4. Анализ результатов численного решения задачи
Глава III. Нелинейная задача оптимального управления с интегральными и
фазовыми ограничениями
1. Постановка задачи.
2. Квазилинейная задача о распространении эпидемии с учетом смертности населения в однородном сообществе
3. Модель погашения эпидеми в двух социальных группах
4. Модель процесса распространения заболевания в однородном сообществе без учета приобретения иммунитета
Заключение.
Список литературы


Контроль над процессом осуществляется с помощью противоэпидемических мер (вакцинация). Управление процессом инфекционного заболевания в однородном сообществе с учетом естественной смертности с помощью вакцинации. При условии, что после перенесенного заболевания иммунитет у населения не приобретается. Этот процесс характеризуется функцией вида /(х(0>>'(0) = Р(*(0>>’(0)’Х(0’УО), ГД° функция *(*) - численность населения восприимчивого к заболеванию, функция у(/), характеризует количество инфицированных людей в каждый момент времени I. Функция /? ЕР,у^(0уу(0-У((0г/(0-Ц2/(у1(О)у,(0-у/(/,>’/,Р)^(О,г = 1. Здесь у,(г) >0, / = 1,а? Слагаемое У,(0. УД0> * = выражает число людей, которые имеют иммунитет или выздоравливают в результате какого-либо иного процесса, величина уД1, / = 1 ,п может изменяться от дней до нескольких недель или месяцев, в зависимости от болезни. Л/(/), / = ,п - скорость рождения людей В / социальной группе, Ц|, - коэффициент смертности населения, от естественных причин. Ц2Д^Д0) _ коэффициент смертности инфицированных людей в / группе. Функция г/Д/,х,>,р), / = 1 ,п характеризует скорость введения вакцины в момент времени /. Функция уДг,у,. Р), / = 1,л показывает интенсивность введения карантина в / группе. Слагаемое ^. ДО, / = 1,л характеризует количество людей, находящихся на лечении в условиях карантина в / социальной группе в момент времени (. Процесс рассматривается на фиксированном отрезке времени [0,Т]. Ввиду ограниченности технических и финансовых средств на функции управления могут быть наложены ограничения. Л", V (1,у,$)еУ сН", /е[0,Т]. И(0*0, /е[0,Т], /ф. Здесь р( ,/ = ! Обычно относительная стоимость вакцинации с, ,/ = 1,и, достаточно мала. Цена ухода /*,, / = 1 ,я, за инфицированным, находящимся на карантине, больше, чем лечение инфицированного человека. Процесс, описанный дифференциальными уравнениями (I), можно назвать управляемым, где управляющими параметрами распространения эпидемии являются вакцинация и введение карантина. Поэтому для решения проблемы можно применить методы теории оптимального управления. Эта задача отличается от известных математических моделей погашения инфекционных заболеваний в обществе введением дополнительного ограничения (4). Разработанные ранее методы теории оптимального управления для такой постановки требуют уточнения. Диссертационное исследование состоит из 3 глав. В первой главе формулируется общая математическая постановка исследуемой задачи в виде задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями. Рассматриваются свойства этой задачи. Выписан общий вид необходимых и достаточных условий оптимальности для задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями. Необходимые условия - в форме принципа максимума Понтрягина, достаточные условия - в форме неравенства Гамильтона - Якоби. Приводится схема построения дискретной аппроксимации непрерывной задачи. Показано, что предельный переход в условиях оптимальности для дискретной задачи приводит к условиям оптимальности для непрерывной задачи. Рассматриваются численные методы для приближенного решения задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями: метод штрафных функций, метод проекции градиента, метод сопряженного градиента. Во второй главе приводится аналитическое решение линейной задачи оптимального управления процессом эпидемии в неоднородном сообществе. Для этого используются необходимые и достаточные условия оптимальности. Иллюстрируется эффективность различных численных методов, в зависимости от выбранных параметров задачи. В третьей главе диссертационной работы рассмогрен ряд моделей процесса распространения инфекционного заболевания в обществе. Формализация данных моделей представляет собой квазилинейную задачу оптимального управления с фазовыми и интегральными ограничениями. Все задачи решены численно. Проанализирована зависимость оптимального решения от параметров задачи. Основные результаты диссертационного исследования и отдельные положения работы опубликованы в восьми печатных работах ( - гг. ТвГУ ( - гг. ВЦ РАН ( - гг.