Исследование диапазона применимости метода малого параметра в некоторых задачах теории нелинейных колебаний

• Автор: Боташев, Хасан Ибрагимович
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Нальчик
• Количество страниц: 243 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение.
Глава I Общий подход к построению решений с гарантированной точностью для математических моделей, содержащих малый параметр, описывающих нелинейные периодические процессы.

1.1. Постановка задачи

1.2. Теоремы о локализации точных решений в случае нелинейных.

1.3. Локализация точных решений в случае квазилинейных систем пго

порядка.

1.4. Локализация точных решений в случае квазилинейных систем

второго порядка ,.

Глава II. О построении решений с гарантированной точностью для математических моделей, содержащих малый параметр, описывающих нелинейные КВйЗИпериодические процессы.

2.1. Локализация точных решений в случае квазвпериодической

системы
2.2. Локализация точных решений в случае нелинейной системы
Глава ПТ. Построение решений с гарантированной точностью для квазилинейных систем второго порядка в нерезонансном случае.
3.1. Методика построения решений с гарантированной точност ью для
квазилинейных систем второго порядка ь нерезонаксном случае
3.2. Построение решений с гарантированной точностью в случае
нерезонансных решений уравнения Дюффинга.
3.3. Исследование вопроса о расширении области применимости
метода малого параметра
Глава IV. Построение решений с гарантированной точностью для квазилинейных систем второго порядка в случае резонанса.
4 Методика построения решений с гарантирован ой гочиостыо для
квазилинейных систем в резонансном случае.
4.2. Построение решений с гарантированной точностью для
резонансных решений уравнения Дюффинга
4.3. Построение решений с гарантированной цвшосхью дня уравнения
ВандерПоля с монохроматическим возбуждением.
Глава V Некоторые сравнительные оценки
5.1 О сравнении решения с гарантированной точностью с точным
решением дифференциального уравнения второго порядка
5.2. О сравнении методик оценки малого параметра в задачах, теории
нелинейных колебаний
Выводы
Литература


Без преувеличения можно сказать, что содержание практически любых эволюционных изменений любого развития есть повторяемость (или почти повторяемость) огромного количества процессов, состояний и явлений []. Неослабевающий интерес к задачам с малым параметром продиктован, прежде всего, их большой прикладной значимостью. Асимптотические методы в задачах такого рода находят широкое применение в гидродинамике, нелинейной механике, теории управления, теории оболочек, химической и биологической кинетике, экологии, электродинамике, теплофизике, физике полупроводников и других областях. Применение асимптотических методов (в частности метода малого параметра) для решения задач с малым параметром, всегда вызывает некоторое сомнение г, достоверности полученных результатов и достаточной точности полученных решений. Ряд методов малого параметра применительно к нелинейным дифференциальным уравнениям теоретически обоснован в [1] - [3],[7],[]. Это значит, что для всех полученных с их помощью результатов можно гарантировать достаточно высокую точность, причем ошибки тем меньше, чем меньше параметр. Однако во всех этих теоретических обоснованиях малость параметра, как правило, не доводится до числового результата. Впервые в [] были получены оценки погрешностей первых приближений (или первых членов рядов) по отношению к точным решениям квазилинейных дифференциальных уравнений достаточно общего вида. В то же время, если уточнить понятие малости параметра, то, как показывают многочисленные примеры [],[], [], методы возмущений могут быть использованы Д1я более широкого класса прикладных задач. X(x,i,ju), (1. X = Х0 + /? Г, + //~Х2 + . Далее, уделяя большое внимание доказательству сходимости ряда, авторы совершенно не упоминают о том, что это доказательство, строго говоря, не имеет отношения к вопросу о возможности приближенной замены ряда его вполне определенной конечной аппроксимацией. Кроме того, из сходимости ряда еще ничего нельзя сказать о том, сколько надо взять членов ряда, чтобы достичь той или иной точности. Поэтому представляется целесообразным в данном случае пойти но принципиально иному пути, коренным образом изменив постановку задачи. Пусть система (1. Тогда, определив методом разложения по параметру некоторое приближенное решение системы (1. Задача. Оценить те значения параметра, при которых разность но норме точного и приближенного периодического решения не превышает некоторой заранее заданной величины б. При таком подходе вопрос о сходимости соответствующих рядов по степеням малого параметра не ставится. Более того, такая постановка задачи продолжает оставаться содержательной в случае расходящихся рядов [4]. Следует отметить, что данный подход может быть распространен на все те задачи, содержащие малые параметры, для которых можно доказать соответствующие теоремы существования точных решений. Задачи оценки области применимости решений, полученных тем или иным приближенным методом, имеют несколько аспектов. Ряд интересных результатов в этом направлении был получен в работах (3],[4],[1 ],[2]. Именно эти результаты позволяют рассматривать, в частности, вопрос об эффективности различных методов нелинейной механики, в том числе и методов, использующих идею малого параметра. Прежде всего, отметим, что задача нахождения периодических решений системы дифференциальных уравнений может быть сведена к решению системы интегральных уравнений типа Гаммерштейна [6]. Л(/)г/-Г <р(/,г/), (1. A(t) - непрерывная периодическая матрица периода 2тс, a (fit,и) -непрерывный вектор, периодичный по t с периодом 1. Липпшица 0 переменной и, то 2тс-периодичсскис решения системы (1. Ф(/)[Е-Ф(2л)] 'Ф(2л)Ф '(. V, у - целые числа). Здесь через Ф(/) обозначена фундаментальная матрица системы (1. Ф(0)—Е (где Е- единичная матрица). Соотношение (1. Н в пространстве непрерывных периодических функций периода 2л. Следовательно, нормы этого линейного преобразования определены соответственно нормам непрерывных периодических функций. Нк ,(/,? Л определяемое (1. А(/). Покажем справедливость (1. Л,. Iяи(м)! Хтах^(і,м(д-)) X , п,. Щ = тах X Ь/(5-,г/(5))'2.