Анализ геометрических описаний сложных объектов на базе алгебраических уравнений суперповерхностей, их обработка и визуализация

• Автор: Павлов, Павел Владимирович
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 151 с. : ил

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.

Глава I. Анализ существующих методов описания объектов в пространстве .

1.1 Формирование векторных поверхностей

1.2 Перенос и повороты в трехмерном пространстве

1.3 Виды аппроксимации

1.3.1 Радиусографический способ.

1.3.2 Способ кривых второго порядка.

1.3.3 Кривые типа Всплайна.

1.3.4 Поверхности типа Всплайна

1.4 Алгебраическое описание поверхностей второго порядка

1.4.1 Общее уравнение второй степени
1.4.2 Инварианты поверхностей второго порядка.
1.4.3 Классификация поверхностей второго порядка
1.4.4 Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение.
1.4.5 Диаметральные плоскости, диаметры и центры поверхностей второго порядка.
1.4.6 Главные плоскости и главные оси.
1.4.7 Приведение уравнения поверхности второго порядка к стандартному каноническому виду.
1.4.8 Касательные и нормали поверхности второго порядка.
1.4.9 Некоторые дополнительные формулы и теоремы
1.4. Параметрическое задание поверхности второго порядка
Глава II. Метод параметрического описания, формирование сцен па основе супериоверхиостей, описанных синусокосинусоидальной кривой.
2.1 Формирование параметрической машинной модели синусокосинусоидального метода описания аналитических поверхностей и их визуализация
2.2 Параметрическая машинная модель поверхностей второго порядка и ее преобразования.
2.2.1 Машинная модель сферы эллипсоида
2.2.2 Машинная модель однополостного гиперболоида.
2.2.3 Машинная модель двуполостного гиперболоида
2.2.4 МашиЕшая модель конуса второго порядка
2.2.5 Машинная модель параболоида эллиптического параболоида
2.2.6 Машинная модель цилиндра эллиптического цилиндра
2.3 Метод формирования параметрической машинной модели описания суперповерхностей и ее преобразования.
2.3.1 Машинная модель суперсферы
2.3.2 Машинная модель однополостного супергиперболоида
2.3.3 Машинная модель двуполостного супергиперболоида.
2.3.4 Машинная модель суперконуса.
2.3.5 Машинная модель суперпараболоида
2.3.6 Машинная модель суперцилиндра.
2.4 Метод создания сцен на базе суперповерхностей.
2.4.1 Особенности метода
Глава III. Метод алгебраического описания, обработка и визуализация сцен на основе аналитических суперповерхностей.
3.1 Поиск действительных корней алгебраических уравнений
3.1.1 Поиск действительных корней квадратного уравнения вида ах2Ьхс0 аО
3.1.2 Поиск корней кубического уравнения вида хЗах2Ьхс0
3.1.3 Поиск корней уравнения четвертой степени вида х4ахЗЬх2Ьсхь
3.1.6 Другие атгебраические уравнения.
3.2 Численные методы нахождения корней уравнений
3.2.1 Метод половинного деления
3.2.2 Метод хорд.
3.2.3 Метод Ньютона метод касательных
3.2.4 Метод секущих
3.2.5 Метод простых итераций.
3.3 Используемые методы визуализации.
3.3.1 Обратная трассировка лучей.
3.3.2 Модели освещенности
3.3.3 Расчет нормали к объекту.
3.4 Алгебраическое описание суперповерхностей и трехмерных аналогов плоских кривых.
3.5 Методы сопряжения и сшивки аналитических поверхностей.
3.5.1 Сопряжение поверхностей с резким переходом
3.5.2 Сшивка поверхностей с плавным переходом.
Глава IV. Описание алгоритмов программ
4.1 Алгоритм построения при помощи параметрически описанной пространственной кривой.
4.2 Алгоритм построения при помощи алгебраически описанных аналитических поверхностей
Заключение.
Литература


По этой причине следует перейти от многообразных полигонов к самым простейшим треугольникам,,. Вполне очевидно, что треугольники всегда имеют фиксированное число вершин и они обязательно выпуклые. Особый интерес к ним выявляется в связи с рассмотрением произвольных полигонов, поскольку любой полигон может быть разбит на конечное число трсугольников,,,. Операция разбивки выпуклого полигона на треугольники чрезвычайно проста, как это видно из рис. Если вершины полигона пронумеровать последовательно Р0, Р, . Ргг. РоР2, РрРз, . РРп. В невыпуклом полигоне, как на рис. РпР2, Р0Рз,. РР. Рз

Р 5 Р
а
Рис. Составим теперь алгоритм, который будет считывать координаты вершин полигоны и выполнит разбиение полигона на треугольники. Требуется, чтобы вершины были указаны обязательно в порядке обхода против часовой стрелки. Например, у полигона на рис. Р4Р5Р6Р0РР2Ра последовательность Р6рР4Р3Р2РРо будет непригодной. Для полигона с п вершинами сначала указывается количество вершин п, затем последовательно перечисляются п пар координат всех вершин в порядке обхода полигона против часовой стрелки. В результате будет получен чертеж полигона с вычерченными диагоналями, полностью разбивающими весь полигон на треугольники. Перед вычерчиванием диагоналей необходимо удостовериться, что все диагонали лежат полностью внутри полигона. Предположим, что Р, Р Рн1 обозначают три соседние вершины, причем будем считать, что Р Р. Рп Р чтобы можно было рассматривать случаи, когда 0 и п1. В этом случае Рх будет выпуклой вершиной тогда, и только тогда, когда три вершины что Р,. Рь Р именно в этом порядке будут обходится в направлении против часовой стрелки. В качестве контрпримера рассмотрим рис. Р1 Р2, Р3 выполняется по часовой стрелке. Вершина Р2 является невыпуклой, и диагональ Р1, Р3 лежит вне полигона. Это условие является необходимым, но, к сожалению, недостаточным, как это показано на рис. Р
Ро
Рб
i
Такой ситуации можно избежать, если принимать во внимание также длину диагоналей. Будем выбирать наикратчайшую диагональ РИу Р2, которую может иметь выпуклая вершина Р, между точками Ри и Р,2. Эта диагональ используется для отсечения треугольника Р1 Р,. Технически это реализуется введением целочисленного массива V, ут1, содержащего номера вершин оставшегося полигона. V, , 1, . Каждый раз при отсечении треугольника число т уменьшается на единицу. Если подобная программа предназначается для практического применения, то желательно выполнить некоторое число испытаний на допустимость входных данных. Программа, которая надежно отвергает любой непригодный набор данных, может быть названа устойчивой. Например, совершенно непригодна последовательность
поскольку обход точек в заданном порядке приведет к ситуации, показанной на рис. Первая, вторая и третья строки матрицы Т соответствуют отображениям бесконечно удаленных точек на координатных осях, а четвертая строка отображению точки О 0 0 1. Последнее означает, что в однородных координатах точка а а а3 1 является отображением точки начала координат О. Поворот вокруг координатных осей может быть описан матрицей без использования однородных координат. Будем использовать правую координатную систему, считая вращение вокруг оси положительным, если оно соответствует положительному направлению этой оси по правилу винта с правой резьбой. Рассмотрим поворот вокруг оси на угол а с и i а . Яг В с
Матрицу Я можно использовать для получения матриц Ях и Яу, определяющих поворот вокруг соответствующих осей, чисто формальным образом, то есть без применения картинки. Это делается путем циклических перестановок, получаемых заменой каждой из букв х, у, 2 на последующую, считая, что за буквой 2 следует буква х. О сов а бп а . Ях Матрицы у и С применяются аналогично. Уравнения для преобразования могут интерпретироваться как изменения координат. Перенос точки на определенное расстояние вправо описывается теми же уравнениями, как перенос системы координат на такое же расстояние влево. На практике удобнее перемещать координатную систему вместо точки, но для этого требуется инвертирование матрицы.