Алгоритмы численного дифференцирования в задачах управления

• Автор: Борисова, Ирина Евгеньевна
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 233 с. : ил

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. АЛГОРИТМЫ ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ НА ОСНОВЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПОЛИНОМОВ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОБРАТНОГО ЦИФРОВОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

1.1. Особенности численного дифференцирования в задачах управления

1.2. Анализ свойств алгоритмов численного дифференцирования в частотной области .

1.3. Реализация обратного цифрового преобразования с использованием алгоритмов численного дифференцирования

1.4. Выводы.

2. РАЗРАБОТКА ОБРАТНЫХ ЦИФРОВЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ ИНВАРИАНТНЫХ К НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ

2.1. Алгоритмы численного дифференцирования, использующие производные сглаживающих экспоненциальных полиномов .
2.2. Типовые алгоритмы обратного цифрового преобразования первого и второго порядков .
2.3. Алгоритмы обратного цифрового преобразования для компенсации нулей передаточной функции системы
2.4. Компенсация кратных корней и полюсов передаточной функции системы.
2.5. Выводы
3. АНАЛИЗ СВОЙСТВ ТИПОВЫХ АЛГОРИТМОВ ОБРАТНОГО ЦИФРОВОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ .
3.1. Частотные свойства типовых алгоритмов обратного цифрового преобразования
3.2. Частотные свойства алгоритмов обратного цифрового преобразования для компенсации нулей передаточной функции системы .
3.3. Выводы .
4. АЛГОРИТМЫ ОБРАТНОГО ЦИФРОВОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЫСОКОЙ ТОЧНОСТИ.
4.1. Алгоритмы обратного цифрового преобразования высокой точности первого и второго порядков
4.2. Помехозащищенность алгоритмов обратного цифрового преобразования .
4.3. Выводы.
5. ПРИМЕНЕНИЕ АЛГОРИТМОВ ОБРАТНОГО ЦИФРОВОГО ПРЕ
ОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ЗНАЧЕНИЙ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ.
5.1. Итеративный алгоритм оценки параметров дрейфового процесса первого порядка по начальному участку наблюдаемой реализации .
5.2. Примеры применения алгоритмов обратного цифрового преобразования и итеративного алгоритма для оценки установившихся значений тепловых дрейфов чувствительных элементов инерционных измерительных приборов .
5.3. Выводы
ЗАКЛЮЧЕНИЕ .
ЛИТЕРАТУРА


А1уж А V, разность кго порядка. Если у представляет собой полином кго порядка, то е разности кго порядка равны между собой, а разности выше го порядка равны нулю. Удобно расположить разности разных порядков, как это сделано в таблице 1. Значение о не обязательно должно быть начальным. Если известны значения функции для 0 А, о 2А, 0 ЗА, . Для получения оценки первой производной необходимо продифференцировать полином 1. Если взять первое слагаемое производной интерполяционного полинома Стирлинга 1. Лу. Ах, 1 АУ, АУ, Ну. ДУ, Уо 2 2 3
Таблица 1. Разности различных порядков. Таблица 1. Разности с положительными и отрицательными индексами. Дг Уг Дуг д2у. Алгоритмы численного дифференцирования по двум и трем первым слагаемым производной интерполяционного полинома Стирлинга 1. АУо АУ1 1 д3у. У2 1 Уг 8у, 8у, у. ЯлДг
ЯД ЫУ
уп у у1 9у2 2у
ЛяА у,Уо
Ъх3
упА1 у2ву3у2у
1. Пояснения к 1. Соотношения подобные 1. М,
Точность обратного цифрового преобразования определяется точностью используемого алгоритма численного дифференцирования, которая отчасти характеризуется максимальной погрешностью, совершаемой при замене функции уг соответствующим интерполяционным полиномом 4, ,. В выражении 1. Кроме того, по максимальной погрешности невозможно судить о влиянии на точность дифференцирования числа слагаемых производной интерполяционного полинома, используемых данным алгоритмом. Также вызывает затруднение сравнение точности, обеспечиваемой алгоритмами численного дифференцирования, полученными с помощью разных интерполяционных полиномов. Остаются нерешенными вопросы точности реализуемых данными алгоритмами производных в областях частот, где необходима операция дифференцирования, и выбора интервала дискретизации по времени. Поэтому целесообразно провести сравнение свойств алгоритмов численного дифференцирования не во временной, а в частотной области, где несложно связать такие понятия как полоса пропускания системы 0 0С0СГу в которой необходимо обеспечить высокую точность работы алгоритма численного дифференцирования, и интервал дискретизации А. Кроме того, в отличие от идеального дифференцирования, которое инвариантно к начальным условиям, алгоритмы численного дифференцирования не гарантируют этого свойства. Большое значение также имеет помехозащищенность алгоритма численного дифференцирования, т. Для сравнения точности, обеспечиваемой различными алгоритмами численного дифференцирования, в работе исследуются логарифмические амплитудночастотные ЛАЧХ и фазочастотные характеристики ФЧХ алгоритмов 1. С помощью ЛАЧХ и ФЧХ можно оценить не только точность дифференцирования в полосе пропускания, но и установить влияние интервала дискретизации на точность оценки производной. Частотные характеристики вычисляются путем последовательного применения преобразований Лапласа и Фурье к алгоритму. Анализ свойств алгоритмов численного дифференцирования в частотной области. Целью данного раздела является сравнение свойств алгоритмов численного дифференцирования в частотной области по их логарифмическим амплитудночастотным и фазочастотным характеристикам. С помощью X и ФЧХ оценивается точность дифференцирования в полосе пропускания и устанавливается влияние интервала дискретизации на точность оценки производной. Рассмотрим выражение 1. Стирлинга. Усу ЧшГ . ЛАЧХ преобразования 1. ФЧХ. А реализуемые логарифмические характеристики достаточно точно повторяют ЛАЧХ и ФЧХ идеального дифференцирующего звена. В дальнейшем полосу частот, где частотные характеристики алгоритма численного дифференцирования близки к частотным характеристикам дифференцирующего звена, будем называть полосой пропускания алгоритма понятие близости ЛАЧХ и ФЧХ алгоритма к идеальным характеристикам будет уточнено далее. ФЧХ можно считать идеальной непосредственно до момента переключения на я. Очевидно, что ширина полосы пропускания обратно пропорциональна величине интервала дискретизации по времени А. На рис. ЛАЧХ и ФЧХ алгоритма 1. А 0. А 0. Теперь рассмотрим частотные свойства преобразования 1. Стирлинга.