Эллипсоидальное и интервальное оценивание состояний и параметров дискретных динамических систем с неопределенным описанием модели

• Автор: Назин, Сергей Александрович
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 118 с. : ил.

Оглавление
Обозначения

1 Метод эллипсоидов в задаче оценивания состояний

1.1 Введение.

1.2 Вспомогательные утверждения

1.3 Множества достижимости.

1.4 Аппроксимация суммы

1.5 Аппроксимация пересечения .

1.6 Обобщения

1.6.1 Матричная неопределенность, ограниченная во фро

бениусовой норме

1.6.2 Аппроксимация суммы при раздельных.ограничениях на неопределенность.
1.6.3 Аппроксимация пересечения при раздельных ограничениях на неопределенность
1.7 Рекуррентный алгоритм
эллипсоидальный фильтр.
1.7.1 Этап предсказания.
1.7.2 Этап уточнения
1.8 Заключение.
2 Асимптотические свойства эллипсоидальных оценок множеств достижимости стационарных динамических систем
2.1 Введение и постановка задачи
2.2 Оценка предельного множества достижимости
2.3 Локально оптимальный рекуррентный алгоритм.
2.3.1 Критерий детерминанта.
2.3.2 Критерий следа
2.4 Оптимальный алгоритм на конечном интервале
времени
2.4.1 Критерий детерминанта.
2.4.2 Критерий следа
2.5 Заключение.
3 Интервальная техника оценивания
3.1 Введение.
3.2 Оценивание состояний.
3.2.1 Множества достижимости
3.2.2 Аппроксимация суммы.
3.2.3 Аппроксимация пересечения
3.3 Параметрическое оценивание.
3.4 Интервальные решения интервальной системы линейных
алгебраических уравнений.
3.4.1 Постановка задачи.
3.4.2 Множество решений.
3.4.3 Радиус невырожденности
3.4.4 Оптимальное интервальное решение
3.4.5 Обобщения
3.4.6 Приближенные интервальные решения
3.5 Алгоритмы интервального параметрического
оценивания.
3.6 Заключение
Выводы
Литература


Подчеркивая важность построения множеств достижимости или информационных множеств динамических систем, отметим, что их форма и структура в большинстве случаев оказывается довольно сложной. В этих случаях представляют интерес их приближения областями определенной канонической формы. В качестве таких областей наиболее естественными являются эллипсоиды, параллелепипеды, многогранники и некоторые другие. Их использование довольно распространено в теории систем и задачах гарантированного оценивания. Построение различных операций над ними формирует предмет так называемого множественного анализа [], которому в последнее время уделяется пристальное внимание. В зависимости от выбора типа аппроксимирующих множеств, различают метод эллипсоидов, интервальный и полиэдральный подходы и другие множественные методы. Каждый из них имеет свои преимущества и недостатки, и выбор определенного метода оценивания зависит от каждой конкретной ситуации. В данной диссертационной работе мы остановимся на рассмотрении только метода эллипсоидов и интервального подхода, которые являются наиболее существенными по сравнению с другими в задачах оценивания состояний динамических систем. Использование эллипсоидов в качестве аппроксимирующих множеств — наиболее привлекательный, на наш взгляд, способ гарантированного оценивания. Этому способствует наличие ряда их неоспоримых преимуществ. Так, например, с помощью эллипсоидов можно получать хорошие оценки произвольных выпуклых множеств; квадратичное описание позволяет легко решать на них задачи оптимизации; класс эллипсоидов инвариантен по отношению к линейным преобразованиям; основные операции, сложения и пересечения, в классе эллипсоидов не вызывают трудностей и даются простыми решениями выпуклых задач оптимизации. Если предполагается, что вектора ошибок и внешних возмущений в динамической системе удовлетворяют квадратичным ограничениям, то применение метода эллипсоидов для аппроксимации областей достижимости представляется естественным и наиболее эффективным. Исследование метода эллипсоидов в задачах оценивания фазовых состояний начилось с работ Швеппе [1,2]. Его изучению и применению посвящены публикации [,2,5]. Большое влияние на развитие этого метода оказали работы Ф. Л. Черноусько и А. Б. Куржанско-го [,-,,8]. Существенный вклад в разработку эллипсоидальной техники оценивания внесли работы [,,3]. В них строятся рекуррентные алгоритмы параметрического оценивания систем методом эллипсоидов, исследуется их сходимость, показывается эффективность получаемых оценок. Недавние публикации [,4,5] представляют ряд новых результатов по эллипсоидальной аппроксимации векторов фазовых состояний динамических систем. Некоторые подходы к оцениванию состояний нелинейных систем можно найти в []. Работы [2,5] обращают внимание на вычислительные трудности, которые возникают при оценивании фазовых сосотояний методом эллипсоидов, и предлагают некоторые алгоритмы и подходы, избегающие их. Удобным инструментом для построения эллипсоидальных аппроксимаций являются линейные матричные неравенства [], используемые в []. Поиск оптимального аппроксимирующего эллипсоида можно свести к задаче “полуопреде-ленного” программирования [], т. Такие задачи эффективно решаются с помощью современных пакетов программ. В рамках гарантированного подхода к задачам оценивания альтернативой методу эллипсоидов является интервальная техника, где неопределенность в переменных задается в покомпонентных терминах. Такой способ ее описания, предполагающий, что каждый элемент векторной или матричной переменной принадлежит заданному ограниченному интервалу, чрезвычайно прост с точки зрения моделирования неопределенностей. К тому же, простые операции над интервальными величинами элементарно реализуются в интервальной арифметике [1,9,0,2,7]. Однако задачи оценивания в такой интервальной постановке нередко оказываются КР-сложными, и поиск их решения тогда сталкивается с вычислительными трудностями. Отметим в этой связи классическую проблему в интервальном анализе, которой будет уделено некоторое внимание в главе 3, а именно, решение возмущенных, интервальных систем линейных алгебраических уравнений [,,,7].