Приближенные методы в параметрической робастности линейных систем управления

• Автор: Щербаков, Павел Сергеевич
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 215 с.

Оглавление
Введение

0.1 Неопределенные системы. Робастность

0.2 Трудности на пути решения задач робастности

0.3 Возможные подходы.

0.4 Постановка задач параметрической робастности. .

0.5 Список обозначений.

1 Достаточные условия Сверхустойчивость

1.1 Сверхустойчивые непрерывные и дискретные системы. Определения и основные теоремы .

1.2 Робастная устойчивость.

1.3 Стабилизация.

1.4 Робастная и одновременная стабилизация.
1.5 Оптимальное управление.
1.6 Выводы к главе.
2 Итеративные методы Теория возмущений
2.1 Оптимизационный подход.
2.2 Робастная устойчивость семейств полиномов и матриц.
2.3 Численные примеры
2.4 Стабилизация.
2.5 Численные примеры
2.6 Выводы к главе.
3 Вероятностный подход малый риск потери робастности
3.1 Вероятностная постановка задач робастности.
3.2 Применение к неопределенным системам с запаздываниями . .
Оглавление
3.3 Сферически равномерное распределение
3.4 Приложения к робастности и оцениванию.
3.5 Об одном специальном равномерном распределении
3.6 Выводы к главе
4 Аналитические методы приближенной робастности
4.1 Масштабирующие интегралы
4.2 Обусловленность и показатели обусловленности
4.3 Задачи с управлением
4.4 Индикаторы приближенной робастности.
4.5 Выводы к главе
5 Вероятностный подход оптимальные распределения
5.1 Принцип равномерности.
5.2 Обобщение на невыпуклые множества и оценивание вероятностного радиуса.
5.3 Оптимальные распределения при наихудшей геометрии множества нарушения.
5.4 Выводы к главе
Заключение
Литература


Неправильно выбранное распределение может привести к получению неоправданно больших величин для радиуса и чересчур оптимистичным выводам о вероятности робастности. Вводится новый класс множеств, названных ПП-множествами, которые удовлетворяют так называемому принципу равномерности []; предлагается процедура построения оптимальной нижней оценки вероятностного радиуса, использующая аппроксимацию исходного целевого множества множеством из ПП-класса. Во второй части главы для целевого множества общего вида оптимальное распределение указывается явно, если доступна дополнительная информация о его объеме. Подробный обзор литературы по соответствующим темам будет дан в главах. В классической теории параметрической робастности рассматривается следующая модель неопределенности. Считаем, что в описание системы входит вещественный вектор неопределенных параметров q G К*, относительно которого известно лишь, что он принадлежит некоторому множеству неопределенности или, иначе, допустимому множеству Q С R*. Обычно предполагается, что Q — замкнутое ограниченное множество в R*; как правило — это куб радиуса у в некоторой векторной норме || • || в R ; величина 7 > 0 называется размахом неопределенности. Конкретный вид функциональной зависимости системы от параметров q называется структурой неопределенности. На„(д)«”, q = (ii,. Линейная (аффинная). Коэффициенты aj(q) являются линейными функциями от вектора параметров. Рг{з) — известные полиномы, а ро(5) — так называемый номинальный полином. Ч = Чи %<(Ц< Яь г = 0,1,. Полиномиальная, или более общб, интегрируемая в явном виде зависимость от параметров, будет рассматриваться в главе 4, где предложены аналитические методы, использующие так называемые масштабирующие интегралы. Дифференцируемая: функции а,(<7) предполагаются дифференцируемыми, а в остальном произвольны. Такая весьма общая структура неопределенности поддается анализу методами, основанными на идеях теории возмущений, рассматриваемых в главе 2. Произвольная зависимость от вектора параметров будет рассматриваться в главах, посвященных вероятностным методам в робастности. Совершенно аналогично эти структуры неопределенности вводятся для матричных задач. Ао — номинальное значение неопределенной матрицы А, а неопределенность Д = (Ду) ограничена в некоторой матричной норме: ||ДЛ|| < 7. Как правило, будет рассматриваться фробениусова норма, по сути сохраняющая параметрическую векторную природу неопределенности, ибо это есть евклидова норма вектора, полученного вытягиванием столбцов матрицы в один вектор-столбец. Подчеркнем, что задачи с общей нелинейной структурой неопределенности не поддаются анализу стандартными методами классической теории робастности; это же относится и к семействам полиномов. Считаем, что параметры не меняются во времени, но могут принимать любые фиксированные значения из допустимого множества; таким образом, имеем семейство стационарных линейных систем 5(д), параметризованное вектором q. К*: ||? К* — значение параметра, соответствующее поминальной (невозмущенной) системе. Пусть V — некоторое желаемое свойство системы (устойчивость, качество переходного процесса и др. Задача заключается в проверке робастности семейства, т. V для всех элементов семейства. Основное внимание в работе уделено случаю, когда свойство V — асимптотическая устойчивость , т. В анализе робастных систем различаем две задачи: (1) определить, робастна ли система при данном фиксированном размахе 7 и (2) найти радиус робастности. Задача робастного синтеза заключается в построении регулятора, робастно стабилизирующего неопределенную систему или нахождении радиуса робастной стабилизируемости. Точные определения будут даны ниже, равно как и конкретизация свойства Р, нормы, определяющей множество ф, структуры неопределенности, специфика задачи в дискретном и непрерывном времени и др. К, С множества вещественных и комплексных чисел. Re z 4* jim -г, j = v/^T. С, т. Re z — jim z. Кп или Сп. Сп. А = (ац): Лт = (ад). А (Е СГ1ХП, т. А = (ау), то А* = (ад). А € Спхп, г = 1,. Л Є Спхп, т. Л) = тах|Аг|. Л € Спхт: <г<(Л) = А? Л*Л), і = 1,. Л Є Епхгг симметрична и положительно (неотрицательно) определена.