Нелинейные регуляризирующие алгоритмы восстановления сигналов

• Автор: Втюрин, Константин Александрович
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 128 с. : ил.

Содержание
Введение

1 Глобальные регуляризирующие алгоритмы

1.1. Вспомогательные алгоритмы и соотношения.

1.2. Регуляризируюшие алгоритмы

1.3. Алгоритмы выбора параметра регуляризации

1.3.1. Метод перекрестной значимости.

1.3.2. Критерий Ькривой.

1.4. Исследование эффективности методов выбора параметра регуляризации.

1.5. Точностные характеристики

регуляризирующих алгоритмов

1.6. Синтез регуляризирующих алгоритмов
по заданным точностным характеристикам.
1.7. Оценка дисперсии шума и априорная
информация.
Результаты главы 1
2 Локальный регуляризирующий алгоритм
2.1. Оптимальный локальный регуляризирующий
алгоритм . .
2.2. Итерационное уточнение отношений
шумсигнал.
2.3. Сходимость локально регуляризированных решений
2.4. Результаты вычислительного эксперимента.
Результаты главы
3 Дескриптивные регуляризирующие алгоритмы
3.1. Метод проецирования на допустимые
множества
3.2. Построение дескриптивного решения методами квадратичного программирования.
3.3. Сравнение методов дескриптивной глобальной регуляризации
3.4. Алгоритм дескриптивной локальной
регуляризации
3.5. Результаты вычислительного эксперимента
Результаты главы 3
4 Решение обратной задачи лазерной спектроскопии
4.1. Постановка задачи.
4.2. Приведение алгоритма регуляризации.
4.3. Вычислительный эксперимент по
восстановлению профиля входного сигнала.
Результаты главы 4
Заключение
Литература


В статистических регуляри-зирующих алгоритмах построение решений основано на статистической модели измерений и статистических способах задания априорной информации об искомом решении, которые носят вероятностный характер. К ним относятся байесовский регуляризирующий алгоритм [, , ], и оптимальные решающие процедуры [2, , , , , , ]. В регуля-ризируюших алгоритмах детерминизм выражается в постановке задачи, в алгоритме построения и отборе устойчивых решений. Он определяется способом задания априорной информации, выбором метрик как правой части, так и решения. К детерминированным относятся, методы квазирешений, невязки, регз'ляризации А. Н.Тихонова [, , , , ]. Одной из проблем, возникающей при использовании регуляризирую-щих алгоритмов, основанных на регуляризации А. Н.Тихонова, является выбор параметра регуляризации а, который вводится в алгоритмы для компенсации существующей неопределенности о характеристиках искомого решения. Изменяя его, можно получить приемлемую точность найденного регуляризированного решения. В основном, существующие алгоритмы выбора параметра регуляризации можно разделить на три группы: алгоритмы, использующие априорную информацию (принцип невязки [, ], условие оптимальности []); алгоритмы не требующие знания какой-либо дополнительной информации (метод перекрестной значимости [, , ], метод Ь-кривой [, , , ]); алгоритмы, для которых необходимо задать точностные характеристики []). Необходимо отметить, что последний пункт вынесен отдельно, ввиду того, что используемая в этих алгоритмах информация относится не к сигналам или измерительной системе, а к алгоритму в целом. Все описанные выше алгоритмы работают с одним управляющим ре-гуляризирующим параметром. Поэтому они получили название глобальных. Очевидно, что повысить точность регуляризированных решений можно, перейдя к методам локальной регуляризации. В связи с этим все большее распространение получают локальные регуляризирующие алгоритмы. Термин «локальные» указывает на то, что скалярный параметр регуляризации в таких алгоритмах заменен некоторой функцией, зависящей от аргумента искомого решения. Такой подход выгодно отличается от методов глобальной регуляризации с точки зрения точности решения и предлагается в данной работе для восстановления сигналов в системах, описываемых уравнением свертки. Другой способ повышения точности приближенных решений заключается в использовании априорной качественной и количественной информации о характеристиках искомого решения. Во многих задачах математической физики в качестве априорной информации можно взять известные данные о гладкости решения. В ряде обратных задач геофизики, астрофизики, диагностики плазмы известно, что искомые функции обладают свойством монотонности или выпуклости. Поиск решения, с применением информации такого рода, называют дескриптивной регуляризацией. Термин «дескриптивная регуляризация», объединяет те методы решения некорректно поставленных задач, в которых принципы регуляризации сочетаются с такой качественной информацией о решении, как знакоположительность, монотонность, выпуклость, наличие экстремумов и т. Субъективной базой этой информации являются, как правило, интуитивные предположения о простоте структуры искомого решения, а объективной - априори известные общие представления о поведении изучаемого процесса. Очевидно, что в этих случаях высокочастотная составляющая решения плохо восстановлена, либо вообще исключена из решения. Применение дескриптивных методов регуляризации позволяет устранить такие явления и дает возможность восстановить «тонкую» структуру решения. Дескриптивные методы, в большинстве своем, нелинейны. Можно сказать, что эти методы обладают более высокой разрешающей способностью, по сравнению с линейными регуляризирующи-ми алгоритмами. К сожалению, в литературе отсутствуют описания дескриптивных регуляризирующих алгоритмов для решения интегральных уравнений с разностным ядром на основе дискретного преобразования Фурье. Цель работы заключается в разработке и исследовании нелинейных регуляризирующих алгоритмов решения интегральных уравнений первого рода с разностным ядром.