Методы оценивания характеристик тяжело-хвостовых случайных величин по конечным выборкам

• Автор: Маркович, Наталья Михайловна
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 206 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Принципы оценивания плотности.

1.1 Основные определения

1.2 Схемы и принципы оценивания плотности. 2

1.3 Оценки финитных и легкохвостовых плотностей

1.4 Оценки тяжелохвостовых плотностей.

1.4.1 Трансформированные оценки

1.4.2 Ядерные оценки с переменной шириной окна.

1.4.3 Комбинированные оценки .

1.5 Методы оценивания хвостового индекса.

2 Оценивание плотностей с тяжелыми хвостами.
2.1 Комбинированные параметриконепарамет
рические оценки
2.1.1 Описание оценки
2.1.2 Оценивание хвостового индекса методом бутстреп.
2.1.3 Непарамстричсское оценивание плотности методом структурной минимизации риска
2.1.4 Примеры оценивания смесей плотностей.
2.2 Оценки, основанные на фиксированном трансформировании
2.2.1 Описание оценок
2.2.2 Исследование оценок методом МонтеКарло
л 2.3 Оценки, основанные на адаптивном трансформировании.
2.3.1 Введение.
2.3.2 Алгоритм оценивания ПР с помощью адаптивной трансформации
2.3.3 Анализ алгоритма.
2.4 Точность трансформированных ядерных оценок плотностей распределения с тяжелыми хвостами
2.4.1 Введение.
2.4.2 I трансформированных ядерных оценок.
2.4.3 Пограничные ядра.
2.5 Выводы и замечания.
Оглавление
3 Применение оценок тяжелохвостовых плотностей для
классификации.
3.1 Риск классификатора и качество оценивания ПР
3.2 Скорость сходимости оценки риска классификации Ьгев к байесовскому риску гв.
3.3 Моделирование.
3.3.1 Исследование качества оценок ПР.
3.3.2 Исследование качества классификатора
3.4 Приложение .
4 Оценивание квантилей высоких порядков.
4.1 Введение
4.2 Результаты моделирования
4.3 Распределения для оценок квантилей высоких порядков.
4.4 Приложение .
4.5 Выводы и замечания .
5 Непараметрическое оценивание хвостового индекса i
оценивание.
5.1 Введение
5.2 Оценивание хвостового индекса.
5.3 Оценивание в режиме i.
5.3.1 Метод бутстреп для оценивания т.
5.3.2 Применение к смоделированным данным
6 Непараметрическое оценивание функции
интенсивности отказов.
6.1 Интенсивность отказов для распределений с тяжелыми хвостами. . . .
6.2 Интенсивность отказов для распределений с компактным носителем. .
6.2.1 Введение.
6.2.2 Оценивание риска смерти из определения.
6.2.3 Оценивание риска смерти из уравнения со специальным видом
6.2.4 Приложение.
6.3 Оценивание отношения функций интенсивностей отказов в двух популяциях. Применение к задаче выявления
гормезиса в популяции.
6.3.1 Введение
6.3.2 Оценивание функции отношения рисков смерти как некорректно поставленная задача.
6.3.3 Численное решение интегральных уравнений по эмпирическим данным
6.3.4 Методы выбора параметра сглаживания.
Оглавление
6.3.5 Примеры.
6.3.6 Заключение
7 Непараметрическое оценивание функции восстановления.
7.1 Введение.
7.2 Гистограммная оценка функции восстановления .
7.2.1 Сходимость гистограммной оценки функции восстановления . .
7.2.2 Выбор к методом бутстреп
7.2.3 Визуальный выбор к
7.3 Экспериментальное исследование.
7.4 Выводы и замечания.
7.5 Приложение.
8 Статистический анализ реальных данных измерений в Интернете.
8.0.1 Описание процесса передачи данных в Интернете.
8.0.2 Проверка данных на тяжелые хвосты.
8.0.3 Результаты анализа характеристик
8.0.4 Результаты анализа с помощью комбинированной оценки ПР. . .
8.0.5 Результаты анализа с помощью трансформированных оценок ПР.
8.1 Оценка высоких квантилей.
8.2 Оценка функции восстановления
8.3 Применение классификации в Интернете.
Заключение
Литература


Разработаны и исследованы методы восстановления тяжело-хвостовых ПР при помощи трансформаций данных, позволяющие сохранить порядок убывания хвоста истинной ПР и имеющие наименьшие интегральные среднеквадратичные ошибки. Рассмотрено использование предложенных оценок ПР в задаче классификации. Предложена и исследована новая оценка для квантилей высоких порядков в предположении, что хвост распределения типа Парето. Доказано, что распределение логарифма отношения предлагаемой оценки (и оценки Вайссмана, Weissman, ()) к истинной квантили асимптотически нормально. Для оценки хвостового индекса, предложенной в Davydov, Paulauskas, RaCkauskas, (), предложен и исследован бутстреп-метод для оценки параметра метода. Показана рекурсивность оценки для расчетов в реальном времени. Рассмотрено оценивание интенсивности отказов для распределений с тяжелыми хвостами. Используя трансформации данных к ограниченному интервалу, предлагается свести оценивание к оцениванию интенсивности отказов (риска смерти) для финитной ПР. Для финитных ПР предложены оценки функции риска смерти из двух интегральных уравнений с разными ядрами и правыми частями методом стохастической регуляризации. При определенном выборе параметра регуляризации доказана сходимость оценок в С, а также скорость сходимости в L2 в случае ограниченного изменения к-ой производной функции риска смерти. Получены оценки функций отношения рисков смерти и ПР продолжительности жизни в двух популяциях для финитных ПР как решение интегральных уравнений с неточно заданными правыми частями и операторами методом регуляризации. Оценки применяются для выявления эффекта гормезиса (т. British medical dictionary, ()) в популяции по эмпирическим данным. Разработана непараметрическая оценка функции восстановления для ограниченных временных интервалов [0, ? ПР, требующая меньшего объема вычислений по сравнению с известными оценками ФВ. Доказана равномерная сходимость оценки почти наверное к истинной ФВ для легко- и тяжело-хвостовых распределений временных промежутков между событиями. Для распределений с экспоненциальными и правильно меняющимися хвостами доказана скорость равномерной сходимости. Предложен выбор параметра оценки по выборке методом бутстреп и из графика зависимости оценки ФВ от этого параметра. Апробация работы. First International IEEE/Popov Workshop on Internet Technologies and Services. Всероссийской научной конференции “Алгоритмический анализ неустойчивых задач” Екатеринбург, . Workshop IP Netzplanung, IP Nctzmanagement und Optimierung. Московском Государственном Университете им. М.В. ETH, Zurich (). Публикации. Результаты работы представлены в публикациях. Структура диссертации. Диссертация состоит из »ведения, восьми глав, заключения, приложения, списка цитируемой литературы (8 наименований), общим объемом 6 страниц. Краткое содержание диссертации. В первой главе приводятся определения тяжело-хвостовых распределений, принадлежащих к ним субэкспоненциальных распределений и распределений с правильно меняющимися хвостами, их основные свойства: невыполнимость условия Крамера, условия конечности моментов, замкнутости относительно операции свертки и др. Обсуждаются общие подходы к оцениванию Г1Р по эмпирическим данным: теорема Лебега, схема Фишера, Lj- подход Деврой и Дьсрфи, (), Ь2-подход Ченцов, (), х2~ подход Gyorfi, Liese, Vajda and van der Meulcn, (), оценивание ПР как стохастической некорректно поставленной задачи Вапник, (); Маркович, (); Ваиник, Маркович и Стефанюк, (); экспонентный метод оценивания логарифма финитной ПР, Стратонович, (), Чепцов, (). Обсуждается специфика оценивания легко- и тяжело-хвостовых ПР. Дасгся обзор непараметрических методов оценивания легко- и тяжело-хвостовых ПР. Приводятся методы оценивания хвостового индекса и, в частности, методы выбора параметра для оценки Хилла (наиболее часто используемой) - количества наибольших порядковых статистик, задействованных в оценке. Во второй главе предлагаются комбинированные и трансформированные оценки тяжело-хвостовых ПР.