Хеджирование финансовых обязательств на неполных рынках

• Автор: Чалов, Денис Михайлович
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 220 с.

Оглавление
Введение
1 Глава 1. Необходимые сведения из функционального анализа, теории вероятностей и случайных процессов

1. Сведения из функционального анализа

2. Сведения из теории вероятностей

3. Элементы дискретного стохастического анализа.

2 Глава 2. Разложения измеримых случайных величин

Введение .
1. Основные определения. Постановка стохастической оптимизационной задачи. Вспомогательные результаты

2. Функция Веллмана. Уравнение типа Веллмана.

3. Разрешимость уравнения 2.9

4. Существование е оптимальных и оптимальных стратегий . .
5. Описания множеств вероятностных мер, связанных с уравнением 2.9
6. 8,рОпциональиое разложение уизмеримых случайных величии
7. Эпредставление .Тизмеримых случайных величин.
8. Примеры.
3 Глава 3. Мартингальные меры и их применение
Введение .
1. Определения, обозначения .
2. Условия существования мартингальных мер
3. Применения мартиигальных мер к построению оптимальных
стратегий и исследованию свойств некоторых разложений .
4. Условия отсутствия арбитража
5. Полные и неполные безарбитражные рынки описание 4 6. Пример расчета Европейского опциона на биномиальном рынке
4 Глава 4. Расчет Европейского опциона па неполных рыпках
Введение .
1. Бистратегии. Верхние и нижние гарантированные значения .
2. Представление верхнего гарантированного значения
3. Представления нижнего гарантированного значения. Характеризация максиминиой бистратегии
4. Условия существования седловой точки оценки бистратегии
. 7.
5. Расчет Европейского опциона на В, 5,., 5рынке . . . 6 6. Примеры расчета Европейского опциона .
Литература


В работе получено обобщение известных результатов для немарковских последовательностей: построено уравнение беллмаповского типа, установлены условия его разрешимости и существования оптимальных стратегий. Кроме того, в отличие от известных работ, в настоящей работе используется оптимальное управление с мультипликативным критерием. Отметим, что подход, используемый в диссертационной работе к решению задачи расчета Европейского опциона на неполном рынке, не был использован другими авторами. Краткое изложение работы. Первая глава носит вспомогательный характер, в ней содержатся сведения из функционального анализа, теории вероятностей и общей теории случайных процессов. В ней также вводятся необходимые для дальнейшего изложения определения и обозначения, в частности, здесь определяется такой важный объект как кумулянта. Вторая глава посвящена построению разложений для - измеримых случайных величин. В ней, основываясь на методе динамического программирования, строятся два типа разложений для Т$т - измеримых случайных величин: (5, (Э)-разложение и 5-представление. С точки зрения конечных результатов диссертационной работы эта глава носит вспомогательный характер. В первом параграфе формулируется одна задача стохастической оптимизации, на решение которой опираются доказательства существования (5, (З)-разложения и 5-представления. Во втором параграфе дается обоснование возможности применения стохастического варианта динамического программирования для решения задачи, сформулированной в первом параграфе, и выводится соответствующее уравнение типа Веллмана. В третьем параграфе устанавливаются достаточные условия разрешимости уравнения типа Веллмана. В четвертом параграфе определяются оптимальная и е-оптимальная стратегии и устанавливаются условия их существования, а также проверяется их допустимость. В пятом параграфе содержится описание множества вероятностных мер, относительно которых уравнение типа Веллмана разрешимо и существуют оптимальные стратегии. В шестом параграфе определяется (5, <5)-опционалыюс разложение и устанавливаются условия его существования. В восьмом параграфе рассматриваются два примера решения уравнения типа Веллмана и построения оптимальной стратегии. Третья глава содержит новые условия существования мер, нейтральных к риску. В этой главе также получены новые условия отсутствия арбитража и новые критерии полноты рынка в терминах функции Веллмана, уравнения типа Веллмана. В первом параграфе вводятся необходимые для изложения определения и обозначения. Во втором параграфе устанав-ливются новые необходимые и достаточные условия существования мар-тингальных мер, основанные на результатах, полученных во второй главе. Кроме того, в этом параграфе построены новые критерии мартингальности вероятностных мер, основанные на свойствах кумулянты. В третьем параграфе устанавливается новый критерий оптимальности стратегий. В четвертом параграфе получены новые условия отсутствия арбитража в терминах функции Веллмана, уравнения типа Веллмана. В пятом параграфе, основываясь на результатах, полученных в седьмом параграфе второй главы, приводится новый критерий полноты рынка. В шестом параграфе рассматривается пример расчета Европейского опциона на биномиальном рынке. В примере также исследуется зависимость между начальным капиталом Хо(р,х) и вероятностной мерой, соответствующей случайной последовательности {? Лго. Четвертая глава работы посвящена решению задачи расчета Европейского опциона на неполных рынках. Сначала рассматривается бесконечная антагонистическая игра. При этом в качестве первого игрока выступает природа, стратегиями которой являются вероятностные меры С? Вторым игроком является владелец опциона (эмитент), в распоряжении которого имеется стратегия 7 В качестве функции выигрыша первого игрока выступает оценка стратегии 7# относительно ме-ры (I 1$ (5. Мы предполагаем, что игроки разумны, т. В первом параграфе описывается множество допустимых стратегий природы и второго игрока, а также вводятся необходимые для изложения результатов понятия. И). В третьем параграфе для нижнего гарантированного значения выводится рекуррентное соотношение и устанавливаются условия его разрешимости.