Разработка методов анализа и синтеза нелинейных динамических систем на основе дифференциально-геометрической теории бесконечномерных многообразий

• Автор: Четвериков, Владимир Николаевич
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 229 с. : ил.

1. ДИНАМИЧЕСКИ ЛИНЕАРИЗУЕМЫЕ И ПЛОСКИЕ СИСТЕМЫ

1.1. Системы с управлением

1.2. Линеаризация статической обратной связью.

1.3. Линеаризация динамической обратной связью и плоские системы

1.4. Решение задач терминального управления и стабилизации методом динамической обратной связи

1.5. Управление движением самолета вертикального взлета

1.6. Бесконечномерная модель системы с управлением . .

1.7. Классы эквивалентных систем с управлением.

1.8. Геометрическая интерпретация плоскостности

1.9. Условие регулярности динамической обратной связи .

1 Построение динамической обратной связи, линеаризующей плоскую систему.

1 Геометрическая интерпретация динамической линеаризуемости.
1 Выводы
2. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ ПЛОСКОСТНОСТИ
2.1. Формы Картана и их свойства.
2.2. Инфинитезимальная форма Бруновского систем с управлением .
2.3. Необходимое и достаточное условие плоскостности, основанное на понятии Ббазиса.
2.4. Условия статической линеаризуемости
2.5. Высшие симметрии систем с управлением
2.6. Построение плоских выходов динамически линеаризуемых систем
2.7. Выводы
3. ПЛОСКИЕ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
3.1. Необходимое условие плоскостности для систем с запаздыванием .
3.2. Решение задачи терминального управления
3.3. Решение задачи стабилизации
3.4. Геометрическая модель систем с запаздыванием . . .
3.5. Геометрическая интерпретация плоскостности
3.6. Доказательство теорем 3.1 и 3.
3.7. Выводы.
4. УСЛОВИЯ ПЛОСКОСТНОСТИ
4.1. Плоские системы уравнений в частных производных .
4.2. Задача поиска оператора совместности.
4.3. Геометрическая модель систем уравнений в частных производных
4.4. Геометрические структуры, связанные с дифференциальными операторами
4.5. Переформулировка задач плоскостности и поиска оператора совместности
4.6. Нелинейный комплекс Спенсера для группы обратимых Сдифференциальных операторов
4.7. Правая подстановка.
4.8. Теорема о точности нелинейного комплекса Спенсера
4.9. Следствие теоремы о точности
4 Выводы
5. ГЕОМЕТРИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
5.1. Пространства джетов .
5.2. Преобразование уравнений в граничнодифференциальную форму.
5.3. Пространства к, джетов.
5.4. Пространства бесконечных джетов
5.5. Граничнодифференциальные операторы
5.6. Поднятие линейных операторов на У7г
5.7. Распределение Картана на 7г С
5.8. Интегральные многообразия распределения Картана .
5.9. инвариантные симметрии распределения Картана на г2
5 Диффеотопы граничнодифференциальных уравнений
5 Высшие симметрии граничнодифференциальных уравнений .
5 Связность Картана инфинитезимальной формы Бруновского .
5 Выводы.
Основные результаты и выводы диссертации.
Введение


Материалы диссертации использовались при публикации работы монографии 1, статей в отечественных журналах 8, , , , , , , , статей в зарубежных журналах , , , , , , , переводной монографии и тезисов докладов 5, 7, , . Структура диссертации. Диссертация разбита на пять глав в порядке усложнения методов. Глава 1 содержит результаты о динамически линеаризуемых и плоских системах с управлением. Используются бесконечномерная геометрическая модель, методы теории систем и теории гладких отображений. В главе 2 исследуется инфинитезимальная форма Бруновского систем с управлением и выводятся следствия из нее. Используется геометрическая теория дифференциальных форм. Глава 3 посвящена распространению понятия плоскостности на системы с запаздыванием. Глава 4 содержит обобщение теории деформаций на бесконечномерный случай и применение этого обобщения к задаче плоскостности. Полученное обобщение применимо как к обыкновенным дифференциальным уравнениям, так и к уравнениям в частных производных. Здесь доказываются все факты геометрии диффеотопов, которые использовались в предыдущих главах без доказательства. При этом сначала определяются диффеотопы наиболее общего вида систем функциональнодифференциальных уравнений. А потом показывается, что диффеотопы динамических систем с управлением, систем уравнения в частных производных и систем с запаздыванием являются частными случаями введенного понятия. Каждая глава и некоторые параграфы начинаются с краткого введения, где формулируются решаемые задачи. Каждая глава заканчивается выводами по главе, а диссертация заключением. В них в краткой форме перечисляются основные полученные результаты и выводы. В этой главе даются определения и доказываются те теоремы о динамически линеаризуемых и плоских системах с управлением, которые следуют непосредственно из определений и бесконечномерной геометрической модели, вводимой в 1. Глава начинается с введения понятия системы с управлением и формулировки задачи терминального управления 1. Затем исследуется задача приводимости систем с управлением к каноническим видам 1. При этом используются только обратимые замены переменных, при которых состояние одной системы выражается только через состояние и время, а управление через состояние, время и управление другой системы. Системы, которые такими заменами приводятся к линейным каноническим видам, определяются как статически линеаризуемые. Рассматривая более общие преобразования систем, приходим к понятиям динамической обратной связи, динамической линеаризуемости и плоской системы 1. Параграф 1. Этот метод демонстрируется на примере задачи управления движением самолета вертикального взлета в 1. Затем излагается бесконечномерный геометрический подход к системам с управлением, развитый ранее в монографиях 4, 1 для уравнений в частных производных. Использование этого подхода позволяет переформулировать на геометрическом языке понятия эквивалентности систем с управлением 1. Задача приводимости систем с управлением к каноническим видам исследовалась в работах 9, , , , , . Стационарные варианты некоторых теорем параграфов 1. П, и Ж,п
где I независимая переменная, вектор х а,. Л,. Ь. Под гладкостью здесь и далее понимается бесконечная дифференцируемость. Произвольную гладкую векторную функцию у переменных г,ж,г и производных и по до какогото конечного порядка будем называть выходом системы 1. Далее рассматриваются только гладкие функции и отображения. Поэтому термин гладкая иногда будет опускаться. Пространство размерности п т 1 с координатами , . Пусть функция ,ж,д определена в области Ы этого пространства. Систему 1. К, если ранг матрицы ддщ в каждой точке этой области равен т. Как известно, зависимость м управления от времени и начальное состояние однозначно определяют зависимость ж состояния от времени как решение соответствующей задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений ж 1x,. Предположим заданы начальное жн и конечное жк состояния системы в начальный н и конечный к моменты времени. Рассматриваемые в этом параграфе задачи можно сформулировать как задачи преобразования системы 1. Ж
где п, 0 для любого г 1,. Щ щ, г 1,. Уг,х, и д, 1. И в V. Х,у, и д. Говорят, что система 1. Ф ,У,аО,ц , г 1,. Формулы 1.