Обобщенные когерентные меры риска и их применение в задачах принятия решений

• Автор: Мартынова, Татьяна Алексеевна
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 109 с. : ил.

Содержание
Введение

1 Обзор основных методов измерения риска

1.1 Основные понятия теории риска.

1.2 Примеры функционалов меры риска и их свойства.

1.2.1 Классические меры риска математическое ожидание

и дисперсия

1.2.2 Функционал ожидаемой полезности

1.2.3 Мера возмущенной вероятности

1.2.4 Меры V и .

1.3 Класс когерентных мер риска.

1.4 Модификация когерентных мер риска Джарроу и Пурнанандама.
2 Обобщенные когерентные меры риска
2.1 Построение меры риска по множеству приемлемых рисков и теорема о представлении .
2.2 Предварительные сведения из выпуклого анализа.
2.3 Аксиоматика обобщенных когерентных мер риска
2.3.1 Свойство кратчайшего пути
2.3.2 Свойство супераддитивиости.
2.3.3 Свойство монотонности
2.3.4 Свойство положительной однородности
2.3.5 Эквивалентность подходов по формированию аксиоматики обобщенных когерентных мер риска
2.4 Выводы об основных отличиях между классическими когерентными мерами риска и обобщенными когерентными мерами
3 Построение обобщенной когерентной меры риска
3.1 Построение конуса приемлемых рисков согласно аксиоматике обобщенных когерентных мер риска.
3.2 Некоторые замечания относительно формы множества приемлемых рисков .
3.3 Построение двойственного конуса к конусу приемлемых рисков.
3.4 Вычисление обобщенной когерентной меры риска путем решения задачи оптимизации на конусе А
3.4.1 Постановка задачи оптимизации на А
3.4.2 Решение задачи оптимизации для строго выпуклой нормы
3.4.3 Нахождение значения меры риска в случаях, если в X задана норма Ц или оо
3.5 Пример вычисления обобщенной когерентной меры риска, соответствующей заданному конусу приемлемых рисков и норме в Я
4 Обобщенные когерентные меры риска в задачах принятия решений.
4.1 Постановка задачи принятия решений.
4.2 Задача формирования портфеля ценных бумаг
4.2.1 Пример решения задачи формирования портфеля
ценных бумаг.
4.3 Рекомендации по использованию обобщенных когерентных
мер в задачах принятия решений.
Заключение
Список использованных источников


Существенным прорывом в решении проблемы количественного измерения риска стала теория ожидаемой полезности, основоположниками которой являются Дж. Нейман и О. Моргенштерн []. Предложенная ими модель является более гибкой относительно индивидуального отношения к риску. Эта гибкость связана с наличием в модели функции полезности, которая отражает предпочтения лица, принимающего решения. Именно в рамках теории ожидаемой полезности Дж. Праттом [] и К. Эрроу [] было введено такое важное понятия как "неприятие риска" и предложены количественные его характеристики. Однако мера ожидаемой полезности представляет предпочтения, обладающие линейной структурой, которые на практике встречаются довольно редко, что подтверждается парадоксами М. Алле [] и П. Сэмуэльсона []. В плане представления нелинейных отношений предпочтения перспективными являются когерентные меры риска, которые г. Ф. Арцнер, Ф. Делбаен, Ж. М. Эбер и Д. Хиф []. В качестве примера когерентной меры риска можно привести функционал возмущенной вероятности Ш. Вонга [] и меру Expected Shortfall К. Ачерби []. Практически сразу после появления когерентных мер риска стали предлагаться различные их модификации, такие как выпуклые меры риска, введенные Г. Фолмером и А. Шидом и меры риска Р. Джарроу и А. Пурна-нандама, названные авторами обобщенными когерентными мерами риска. Однако строго говоря их нельзя считать обобщением когерентных мер в виду того, что они позволяют оценивать лишь неприемлемые для инвестора риски. Обобщение когерентных мер согласно подходу Джарроу и Пурнананда-ма было продолжено A. A. Новоселовым в работе []. Предложенные им меры являются действительным обобщением когерентных мер и в дальнейшем именно их мы будем называть обобщенными когерентными мерами риска. Они могут считаться более гибким инструментом для представления индивидуальных предпочтений в связи с тем, что предпочтения задаются не только с помощью разделения рисков на приемлемые и неприемлемые (как при построении когерентных мер), но и с помощью указания формы единичной сферы в пространстве рисков, что достигается введением нормы в этом пространстве. Автором указан способ задания функционала по определенному аксиоматически множеству приемлемых для индивидуума рисков и норме в пространстве рисков, и доказана теорема о представлении меры риска в виде инфимума линейных функционалов, отвечающих некоторым требованиям. Однако вычисление функционала непосредственно с помощью этой теоремы представляет весьма трудоемкую задачу, что неудобно при решении практических задач. В связи с этим встает вопрос об эффективности использования обобщенных когерентных мер риска на практике. Объектом исследования является класс обобщенных когерентных мер риска и соответствующие им множества приемлемых рисков, а предметом исследования выступает аксиоматическое описание функционала, методика вычисления значений меры риска для различных отношений предпочтения и возможность применения данного функционала в задачах принятия решений в условиях неопределенности. Построить аксиоматическое описание обобщенных когерентных мер риска. Получить аналитическое представление для конуса приемлемых рисков и создать алгоритм построения двойственного конуса. Применить теорему о представлении обобщенной когерентной меры риска для создания процедуры вычисления функционала по построенному двойственному конусу и норме, заданной в пространстве рисков. На примере задачи формирования портфеля ценных бумаг продемонстрировать возможность использования обобщенных когерентных мер риска в задачах принятия решений. Основная идея диссертации состоит в применении методов выпуклого анализа для построения взаимосвязей между множеством приемлемых рисков, представляющим предпочтения индивидуума, и двойственным конусом, что позволит применить теорему о представлении обобщенной когерентной меры риска для непосредственного вычисления значений функционала. Методы исследования основаны на использовании элементов теории вероятностей, линейной алгебры, функционального анализа и методов выпуклого анализа.