Алгоритм восстановления функций

• Автор: Сиверцев, Олег Николаевич
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 185 с. : ил.

Глава 1. Сведения из теории меры. Некоторые сведения из теории вероятностей. Глава 2. Постановка задачи. Формулировка основного результата. Доказательство теоремы 2. Глава 3. Постановка задачи. Обозначения и определения . Глава 4. Восстановление экспрессии генов слайдов генных карт. Приложение 1. Приложение 2. Описание программы Сагсеап. Глава 1. Определение 1. Прямым или дскартоиым произведением Ах В двух множеств А, В называется множество всех упорядоченных пар х, у с х е Ауу е В. Определение 1. О только при х 0. Определение 1. Конечномерное линейное пространство с фиксированным в нем скалярным произведением называется евклидовым пространством. Определение 1. Определение 1. Шаром 0а,г в метрическом пространстве X с центром в точке а и радиусом г называется совокупность точек г Е X таких, что рг,а г. Определение 1. Множество Р С X называется открытым в метрическом пространстве Х если вместе с каждой своей точкой г оно содержит и
некоторый шар 0г,г. Определение 1. Точка х X называется точкой прикосновения множества М С X, если любая ее окрестность содержит хотя бы одну точку из М.


Приведенные выше результаты, касающиеся задачи уонтималыюго восстановления но наблюдениям в конечном числе точек при использовании тригонометрического базиса в 0,1 позволяют обосновать методику выбора точек х, . Доказано, что в этом случае оптимальным в смысле минимума следа дисперсионной матрицы оценок является равномерное разбиение отрезка 0,1. Опираясь на этот результат, в работе дается описание н обоснование алгоритма, который позволяет численно построить решение стохастической задачи восстановления на ЭВМ. Перейдем к краткому изложению работы. В первой главе содержатся необходимые для изложения результатов работы сведения из функционального анализа, теории меры, теории вероятностей и математической статистики. Здесь вводятся также необходимые для изложения обозначения и определения. В первых двух параграфах вводятся основные обозначения, даются определение оценки гауссовской случайной функции, оптимальной оценки, а также приводится постановка задачи оценивания гауссовской случайной функции. В 3 и 4 формулируется и доказывается основной результат теорема о существовании оптимальной оценки неизвестной функции по наблюдениям за семейством угк случайных величин, описываемых б. II условия состоятельности оценок. В б устанавливаются условия существования оптимальных оценок гауссовской случайной функции но наблюдениям б, а также некоторые свойства этих оценок. В 7 рассматривается задача стохастического восстановления функций из г0, В нем построены и обоснованы процедуры оптимальною и оптимального восстановления. Третья глава диссертации посвящена оптимальному и боптималыюму 0 0 оцениванию гауссовской случайной функции по наблюдениям за ней с гауссовскими случайными ошибками, проводимым в конечном числе точек отрезка 0,1. В 1 содержится постановка задачи и необходимые для изложения материала определения и обозначения. В 2 устанавливаются условия существования оценок гауссовской случайной функции по наблюдениям за ней в конечном числе точек отрезка 0,1. В 3, опираясь на результаты 2, получены условия существования решения задачи оптимального оценивания гауссовской случайной функции по наблюдениям за ней с гауссовскими ошибками в конечном числе точек из 0,1. В 4 устанавливаются условия существования оптимальных непараметрических проекционных оценок неизвестной функции из г0,1 но наблюдениям за ней с гауссовскими ошибками в конечном числе точек отрезка 0,1. Кроме того, в этом параграфе решается задача выбора точек в которых следует проводить наблюдения. Четвертая глава диссертации посвящена разработке, обоснованию и описанию алгоритма, реализующего решение задачи стохастического восстановления 3 по наблюдениям с ошибками с конечном числе точек, в виде комплекса программ для ПЭВМ. В 2, опираясь на результаты 1, приводится и обосновывается процедура построения ортонормированного базиса но результатам наблюдений. Диссертация также включает два приложения. МНК тренд, реализующим алгоритм восстановления неизвестной функции в операционных системах Vi и Vi ХР, построенный в 3 главы 4 диссертации. В приложении 2 содержится описание и порядок работы с комплексом программ СагЛЭсаи, осуществляющим полуавтоматическую оцифровку данных экспрессии генов блоков слайдов генных карт. Результаты диссертации опубликованы в одиннадцати работах, список которых приведен в конце диссертации. В диссертации принята обычная двойная нумерация теорем, формул и рисунков, самостоятельная в каждой главе. При ссылках на теорему, определение, замечание пли формулу номер главы ставится впереди. В приложениях принята одинарная нумерация теорем, формул, рисунков и таблиц, самостоятельная в каждом приложении. В каждом параграфе, а также во введении и в приложениях введена самостоятельная двойная нзмерация пунктов. Ссылки на труды, указанные в библиографическом списке, приведены в квадратных скобках. Автор выражает признательность своему научному руководителю профессору Владимиру Минировичу Хамстову за постоянную помощь и внимание к работе над диссертацией. Автор выражает признательность Борису Петровичу Тюхову и Андрею Игоревичу Топунову за консультации при создании программы Сагссап, а также Ивану Михайловичу Гостеву за полезные обсуждения.