Разработка математических методов анализа сложных нелинейных систем социодинамики

• Автор: Магницкий, Юрий Николаевич
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 95 с.

Оглавление
Введение

1 Математический анализ логистических систем социодинамики

1.1 Логистические модели социодинамики.

1.2 Теория ФсйгснбаумаШаркоискогоМапшцкого динамического хаоса в нелинейных ОДУ

1.3 Регулярная и хаотическая динамика в логистических системах ОДУ .

2 Регулярная, волновая и хаотическая динамика в распределенной модели саморазвивающейся рыночной экономики

2.1 Вывод уравнений распределенной саморазвивающейся рыночной экономики

2.2 Качественный анализ зависимости макропоказателей от структуры рыночной экономики .

2.3 Волновые решения распределенной экономической системы .

3 Прогнозирование временных рядов методами хаотической динамики

3.1 Постановка задач прогнозирования экономических индексов
и показателей
3.2 Разложение в ряд по собственным функциям нелинейной среды
3.3 Аппроксимация временного ряда решением хаотической ди намической системы.
Заключение
Список литературы


До последнего времени совершенно естественным представлялся единый геометрический подход к изучению нелинейных динамических систем, позволяющий рассматривать с общих позиций нелинейные системы, описываемые как дискретными отображениями, так и обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных [9-]. Согласно геометрической точке зрения, динамической системой называется однопараметрическая непрерывная или дискретная группа (полугруппа) <р*(х) преобразований метрического фазового пространства М в себя. Непрерывные группы также часто называют потоками, а дискретные - отображениями или каскадами [). Интенсивное применение геометрического подхода к анализу динамических систем началось со знаменитой работы американского математика С. Смейла, предложившего конструкцию отображения, которое впоследствии получило название подкова Смейла []. Кроме того, было показано, что поведение траекторий динамической системы па таком странном в терминологии Д. Рюэля и Ф. Такеиса [] аттракторе является довольно сложным, сочетая в себе глобальную устойчивость с локальной неустойчивостью отдельных близких траекторий, экспоненциально разбегающихся со временем, что характеризуется наличием на аттракторе как отрицательного, так и положительного показателей Ляпунова. Так как анализ свойств непрерывных динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями, может быть сведен к анализу свойств некоторого отображения - отображения Пуанкаре, то обнаруженное в непрерывных динамических системах нерегулярное, хаотическое поведение траекторий, стали связывать с наличием в системе странного аттрактора. Однако доказательство этого факта непосредственно для знаменитой системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений Лоренца столкнулось со значительными трудностями. Многочисленные попытки в течение длительного времени обосновать методами геометрической теории динамических систем наличие странного аттрактора в окрестностях петель сепаратрис седло-узла и седло-фокуса в системе Лоренца закончились неудачей |-|. Более того, задача показать, совпадает ли поведение решений системы Лоренца с динамикой геометрического аттрактора Лоренца была сформулирована С. Смейлом как одна из наиболее значительных математических проблем XXI века (). В последние годы авторами работ [-) было показано на многочисленных примерах нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений уравнений с частными производными, что геометрический подход, развитый для дискретных отображений и позволивший получить для них ряд блестящих результатов, является не совсем адекватным применительно к непрерывным динамическим системам, описываемым дифференциальными уравнениями. Была предложена новая универсальная теория динамического и пространственно-временного хаоса во всех типах нелинейных дифференциальных уравнений, названная впоследствии теорией Фейген-баума—Шарковского—Магницкого. Фейгеибаума удвоения периода устойчивых предельных циклов или двумерных торов [,] и продолжающийся субгармоническим каскадом бифуркаций Шарковского рождения устойчивых циклов или двумерных торов любого периода [,] и затем гомоклиниче-ским каскадом бифуркаций Магницкого рождения устойчивых циклов или двумерных торов, сходящихся к гомоклиническим контурам особых решений [,]. За последние несколько лет этот подход был успешно применен не только для объяснения сценария перехода к хаосу в системе Лоренца через двойной гомоклинический каскад бифуркаций, но также и для анализа хаотической динамики многих других классических нелинейных систем дифференциальных уравнений, не поддававшихся решению другими методами в течение многих десятилетий, таких, например, как системы обыкновенных дифференциальных уравнений Росслсра (], Чуа [], Дюф-финга—Холмса[], Рикитаки [], система уравнений с частными производными Курамото-Цузуки |], уравнение с запаздывающим аргументом Мэкки-Гласса [] и многие другие. Цслыо диссертационной работы являлось проведение аналитического и численного исследования двух классов нелинейных систем уравнений соци-одинамики: логистической системы уравнений, т.