Решение новых задач анализа и синтеза распределенных систем на основе спектральной теории

• Автор: Осенин, Виталий Николаевич
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 165 с. : ил.

Содержание
Введение

1. Состояние проблемы

1.1. Основные методы решения задачи анализа распределенных систем

1.2. Краткий обзор использования спектрального метода для анализа

распределенных систем управления.

1.3. Сходимость ряда Фурье на основе тригонометрических функций

1.4. Выводы к главе 1

2. Развитие спектрального метода анализа распределенных

систем управления

2.1. Новые свойства спектральных характеристик.

2.1.1. Свойство 1. Коммутативность представления произведения
двух функций в спектральной форме
2.1.2. Свойство 2. Спектральная характеристика от определенного интеграла по пространству
2.2. Решение интегрального уравнения Фредгольма с помощью
спектрального метода.
2.3. Пример использования спектрального метода для решения
интегрального уравнения Фредгольма второго рода
2.4. Применение спектрального метода для анализа распределенных
систем, описываемых интегродифференциальными уравнениями.
2.5. Пример решения интегродифференциального уравнения
спектральным методом.
2.6. Выводы к главе 2
3. Особенности выбора ортонормированных систем функций
при использовании спектрального метода.
3.1. Вычисление операционных матриц дифференцирования
по системам разложения.
3.2. Выбор системы разложения
3.3. Влияние выбора системы разложения и количества членов
разложения на решение интегрального уравнения Фредгольма второго рода спектральным методом.
3.4. Выводы к главе 3 .
4. Восстановление состояния распределенной системы,
представленной в спектральной форме.
4.1. Решение задачи наблюдения при спектральномодальном
представлении распределенного объекта управления
4.2. Регуляризация задачи оценки состояния распределенных систем
4.3. Выводы к главе 4 .
5. Синтез закона управления технологической установкой
нагрева нефтепродукта.
5.1. Математическая модель объекта управления
5.2. Представление модели распределенного объекта управления
в спектральной форме.
5.3. Анализ распределенного объекта управления
на основе спектрального метода.
5.4. Синтез распределенной системы управления.
5.5. Реализация дискретного по пространству управления
распределенным объектом
5.6. Синтез дискретного регулятора для управления проточным
нагревателем нефтепродукта.
5.7. Выводы к главе 5
Заключение
Приложения
Прилоэсение 1. Справка об использовании результатов
Приложение 2. Акт о внедрении в учебный процесс
Приложение 3. Некоторые тригонометрические системы разложения
Приложение 4. Операционные матрицы дифференцирования
Приложение 5. Листинг программы в системе для синтеза
дискретного регулятора и анализа системы
Список литературы


Классические методы, в числе которых метод разделения переменных или метод Фурье [7], [8], [9]. Данным методом решаются линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения с частными производными, с постоянными и переменными коэффициентами, зависящими от пространственных переменных при линейных однородных и неоднородных граничных условиях. В качестве решения используется произведение функции времени и функции пространственных координат. Решение задачи представляется в виде суммы ряда по собственным функциям. Проблема нахождения пространственной составляющей решения, которая определяется собственными функциями, в ряде случаев оказывается затруднительной по причине отсутствия единой формализованной процедуры, и требует применения нестандартных решений при рассмотрении конкретных задач. Метод интегральных преобразований, среди которых наиболее часто используются преобразование Лапласа, сииус-преобразование, косинус-преобразование и преобразование Ханкеля [8], [], []. Использование преобразования Лапласа наиболее эффективно по переменной времени, а также по пространственной переменной для неограниченных или полуограниченных тел. Существование подробных таблиц перехода от функций времени к изображениям и наоборот значительно упрощают процедуру решения разнообразных задач методом преобразования Лапласа. К недостаткам метода можно отнести трудности, которые возникают при переходе от изображений к оригиналам: при решении задач с начальными условиями, в качестве которых выступают функции, зависящие от пространственных переменных; в случае нелинейности коэффициентов уравнений; в случае решении задач повышенной пространственной размерности. При затруднении аналитического перехода от изображений к оригиналам, для вычисления интегралов обратного преобразования используются приближенные методы на основе интерполяционных формул, полученных путем аппроксимации подынтегрального выражения дробно-рациональными функциями. В случае если на поверхности тела задано значение функции (граничные условия первого рода), применяется синус-преобразование Фурье. В случае граничных условий второго рода используется Косинус-преобразование Фурье. При решении задач связанных с цилиндрическими телами используется преобразование Ханкеля, которое характеризуется применением функций Бесселя в качестве ядра интегрального преобразования. Данный факт значительно снижает эффективность методов и сужает диапазон их применения. В работах [8], [], [] приведены интегральные преобразования с конечными пределами. Для определения формул обращения искомая функция представляется в виде разложения в ряд на основе собственных функций задачи. Кроме того, существуют методы, основанные на приближенных интегральных преобразованиях. Ядром интегрального преобразования может выступать функция Грина, как показано в [9|, []. На основе классических решений уравнений в частных производных, представленных с помощью интеграла от функции Грина построена структурная теория анализа распределенных систем, предложенная А. Г. Бутковским [], [] и развитая Э. Я. Рапопортом []. Достоинством структурной теории является высокий уровень формализации построения структурных схем объекта управления в зависимости от вида уравнения объекта, начальных и граничных условий. Преобразование структурной схемы открывает возможность получения решения задачи анализа для объекта управления и системы в целом в интегральном виде. Полученные результаты могут быть использованы для решения задачи идентификации параметров по экспериментальным данным и далее для построения регулятора распределенной системы. Применение структурной теории затруднительно в случаях предварительной неизвестности функции Грина, а получаемые посредством структурных преобразований замкнутой системы интегральные уравнения сложны для анализа таких свойств системы, как наблюдаемость и управляемость. Часто для нахождения приближенных решений дифференциальных уравнений с частными производными используются численные, конечноразностные методы [8], [].