Оценка и оптимизация квантильного критерия для функции потерь с малым параметром в условиях статистической неопределенности

• Автор: Сысуев, Александр Владимирович
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 95 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Метод линеаризации для решения задач квантильного анализа с малыми случайными параметрами

1.1. Введение

1.2. Обзор методов исследования задач стохастического программирования с кпантильным критерием

1.3. Постановка задачи квантильного анализа

3.4. Обоснование метода линеаризации 2

1.4.1. Решение вспомогательной задачи.

3.4.2. Одномерный случай

1.4.3. Векторный случай.

1.5. Примеры.

1.5.1. Нормальное распределение.
1.5.2. Равномерное распределение
1.5.3. Экспоненциальное распределение.
3.6. Задача коррекции орбиты геостационарного искусственного спутника Земли.
1.7. Заключение
2 Сравнение квантильного и гарантирующего подходов к анализу систем в условиях неопределенности
2.1. Введение
2.2. Обзор методов исследования систем в условиях неопределенности .
2.3. Постановка задачи.
2.4. Принцип равномерности .
2.5. Оценка характеристик эффекта.
2.5.1. Некоторые вспомогательные результаты
2.5.2. Использование принципа равномерности
2.6. Оценка абсолютной и относительной эффективностей квантильпого подхода к анализу систем но отношению к гарантирующему
2.6.1. Оценка абсолютной эффективности.
2.6.2. Оценка относительной эффективности
2.6.3. Оценка относительной эффективности в случае функции
потерь с детерминированной составляющей
2.7. Заключение.
3 Решение задачи формирования портфеля ценных бумаг с фиксированным доходом методом линеаризации
3.1. Впедсние.
3.2. Обзор методов решения задач оптимизации портфелей ценных бумаг
3.3. Постановка задачи
3.4. Применение метода линеаризации к задаче формирования портселя
3.5. Решение линеаризованной задачи.
3.6. Пример.
3.7. Заключение.
Заключение
Список литературы


Теория стохастического программирования с вероятностными критериями рассматривает конечномерные задачи, которые своей целью ставят принятие оптимальных решений с учетом риска или требований надежности в условиях неопределенности, имеющей стохастическую природу. Стохастическая природа в таких задачах моделируется некоторым случайным вектором. Вероятностными критериями оптимальности являются функции вероятности и квантили. Функция вероятности несет в себе смысл вероятности выполнения некоторого условия. Функция квантили характеризует минимальное гарантированное значение функции потерь, которое не может быть превышено с заданной вероятностью при выборе гарантирующей стратегии. В силу актуальности и важности задач стохастического программирования их исследованном занимались известные российские ученые в области теории управления [2,3,,]. Из зарубежных исследователей в этой области следует отметить представителей венгерской [-) и эстонской [-. В общем случае, задачи стохастического программирования и анализа в условиях стохастической неопределенности являются весьма сложными. Это связано с тем, что найти аналитический вид функций квантили и вероятности или их градиентов можно лишь в некоторых частных случаях. При отсутствии аналитического вида критерия бывает сложно построить эффективные численные методы решения подобных задач. Кроме того, задача может быть усложнена тем, что распределение случайных параметров системы явно не задано, а известно лишь то, что распределение принадлежит некоторому классу неопределенности. Несмотря на возникающие сложности исследования этих задач, в последнее время их актуальность увеличивается. Это объясняется тем, что данные критерии не рассматривают некоторые маловероятные совокупности неопределенных параметров, учитывая только риск их реализации. Однако главным недостатком вероятностных критериев остается то, что зачастую не представляется возможным привести их к аналитическому виду. При детерминированном подходе исследования систем влияние неопределенных факторов не учитывается. Но с практической точки зрения в этом случае может быть потерян реализм присутствующих в задаче явлений. Например, при формировании портфеля ценных бумаг сложно не учитывать случайность эффективностей финансовых инструментов или при моделировании движения летательного аппарата определять, как постоянную, скорость негра. Таким образом, практическая значимость учета неконтролируемых факторов в моделях систем не вызывает сомнений. Одним из подходов к решению задач стохастического программирования является метод детерминированного эквивалента, суть которого состоит в замене исходной стохастической задачи некоторой детерминированной. В задачах анализа и оптимизации систем в присутствии случайных параметров зачастую, чтобы избавиться от “стохастики”, усредняют целевую функцию но этим параметрам. В результате полученное решение может абсурдным, так как оно будет справедливо лишь “в среднем”. Наглядным примером является биржевой парадокс ||. Другим вариантом построения детерминированного эквивалента является гарантирующий (минимаксный) подход. Гарантирующий подход к анализу систем заключается в том, что берутся наихудшие из возможных реализаций случайных параметров. Так осуществляется страховка от наихудшего результата. Но в реальности наихудшие сочетания неопределенных параметров системы маловероятны и пере-страховочны, особенно когда таких параметров много. Некоторым компромиссом между стохастическим и минимаксным подходами к моделированию систем в условиях неопределенности является квантильпый подход, основанный на использовании квантилыюго критерия качества. При квантилыюм подходе маловероятные, наихудшие сочетания параметров, характерные для минимаксного подхода, исключаются из рассмотрения. Риск их появления ограничивается на некотором допустимом уровне. При анализе и синтезе систем в присутствии случайных параметров но квантильному критерию качества возникают сложности следующего характера. Во-первых, в большинстве таких задач найти аналитическое выражение для квантилыюго критерия при заданном уровне доверительной вероятности, как правило, невозможно.