Идентификация стохастических систем авторегрессионного типа с нелинейностями и бесконечной дисперсией шума

• Автор: Марков, Александр Сергеевич
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 119 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. Оценивание параметра авторегрессии с

.бесконечной дисперсией шума

1.1. Постановка задачи.

1.2. Построение взвешенной оценки

1.3. Предельное распределение ошибки оценивания

1.4. Преимущество взвешенной оценки

1.5. Выводы

Глава 2. Оценивание параметров пороговой авторегрессии

2.1. Последовательное оценивание.

2.1.1. Построение послсдонательных оценок
2.1.2. Совместное асимптотическое распределение ошибок оценивания
2.2. Оценивание взрывной пороговой авторегрессии.
2.3. Выводы
Глава 3. Результаты численного моделирования
3.1. Моделирование процедуры оценивания параметра авторегрессии
с бесконечной дисперсией шума
3.1.1. Распределение нормированного уклонения ошибки оценивания
3.1.2. Функция относительной эффективности оценок
3.1.3. Функция средней относительной эффективности оценок
3.2. Моделирование последовательной процедуры оценивания параметров пороговой авторегреси и
3.2.1. Случай гауссовых шумов
3.2.2. Случай шумов с равномерным распределением.
3.2.3. Случай дискретных шумов.
3.2.4. Пример применения пороговой авторегрессии в задачах нелинейного оценивания
3.2.5. Выводы.
3.3. Моделирование процедуры оценивания параметров взрывной пороговой авторегрессии.
3.3.1. Распределение ошибок оценивания
3.3.2. Выводы.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
ЛИТЕРАТУРА


Модель авторегрессии широко используется в анализе временных рядов, поскольку позволяет аппроксимировать любой стационарный процесс с непрерывной спектральной плотностью [1]. Процессы авторегрессии используются, например, в задачах управления [], в задачах компьютерной надежности [], в физической медицине [], в теории финансов [] и др. Авторегрессионные модели используются и в задачах обнаружения разладки случайных процессов []. Первоначально исследование характеристик различных процедур оценивания неизвестных параметров Л1,. Р[г) = 1 - Лх2 - /1о -. Затем был рассмотрен случай, когда распределение шумов неизвестно, а предполагается лишь конечность второго момента. Однако на практике эти ограничения не всегда позволяют отследить динамику реального процесса. Так в последние годы проявляется значительный интерес к исследованию моделей типа авторегрессии в случае, когда нарушаются некоторые офаничения, накладываемые на модель. Остановимся на некоторых из них более подробно. Нарушение условия конечности вторых моментов шумов. В настоящее время появилась необходимость дополнительного исследования существующих моделей стохастических динамических систем в случае, когда случайные величины, задающие динамику исходного процесса, имеют распределения с «тяжелыми» хвостами (бесконечной дисперсией). Офаничимся классом правильно меняющихся на бесконечности распределений. Для таких распределений все абсолютные моменты порядка р > а равны бесконечности. Подробно ознакомиться с правильно меняющимися распределениями и их свойствами можно, например, в []. Как показано в обзорной статье [], многочисленные экспериментальные исследования современных систем связи показали, что такие характеристики, как размер файла, время, требуемое процессору для выполнения работ, время соединения, время ожидания между пакетами в сети ЕШеше1 и их размер, данные видео конференций проявляют свойства случайных величин с «тяжелыми» хвостами. Величины с «тяжелыми» хвостами распределений встречаются и в гидрологии, финансах, структурной инженерии []. Распределения с «тяжелыми» хвостами, а, в частности, устойчивые распределения все чаще используются в теории сетей и очередей. Традиционные предположения о том, что интервалы между заявками и время обслуживания имеют экспоненциальное распределение, в большом числе случаев не выполняются. Распределения с бесконечной дисперсией широко используются при описании гравитационного ноля звезд, распределения температуры в ядер-ном реакторе, распределения напряжений в кристаллических решетках и т. Это вызвало дополнительный интерес к изучению свойств стохастических динамических систем с шумами, распределение которых имеет «тяжелые» хвосты (бесконечную дисперсию). Однако наличие шумов с бесконечной дисперсией в динамической системе может привести к тому, чю методы идентификации ее параметров, разработанные для случая конечной дисперсии, могут оказаться недостаточно эффективными или качественно поменять свои свойства. Поэтому в случае, когда распределение шумов динамической системы имеет «тяжелые» хвосты, необходимо дополнительное изучение процедур оценивания ее параметров. Наиболее важными распределениями с «тяжелыми» хвостами являются устойчивые распределения, введенные Леви в г. В общем случае характеристическая функция устойчивого распределения с показателем а е (0. С, /? Отметим, что последняя характеристическая функция при а- 2 является характеристической функцией нормального распределения. Основным свойством устойчивых случайных величин является то, что их сумма имеет устойчивое распределение с тем же показателем (с точностью до некоторых известных коэффициентов масштабирования и сноса). В случае конечной дисперсии случайных величин таким свойством обладает только нормальное распределение. Также известно [], что нормированные суммы независимых одинаково распределенных случайных величин могут сходиться к некоторому невырожденному закону распределения в том и только том случае, когда последнее устойчиво. Поэтому роль устойчивых распределений в анализе случайных величин с бесконечной дисперсией такая же, как и роль нормального распределения в анализе случайных величин с конечной дисперсией. R,y> 0.