Оптимизация квантильного критерия при выпуклой целевой функции с помощью стохастического квазиградиентного алгоритма

• Автор: Матвеев, Евгений Леонидович
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 104 с.

Оглавление
Введение

1 Оценки квантили

1.1. Введение.

1.2. Выборочная оценка квантили

1.2.1. Определение выборочной оценки квантили.

1.2.2. Свойства первых моментов выборочной оценки квантили . .

.Л. 1,Л1 . я,. V4. Л У, V ч У и1 ГЛ

1.3. Ядернан оценка кван тили.

1.3.1. Определение и свойства ядерной оценки квантили.

1.3.2. Структура оптимального ядра

1.4. Дсцентрал изированная оценка квантили
1.4.1. Определение децентрализированной оценки квантили . . . .
1.4.2. Свойства децентрализированной оценки квантили
1.4.3. Сравнение децентрализированной оценки квантили с выборочной оценкой
2 Свойства выпуклости фуикции квантили
2.1. Введение.
2.2. 7вогнутные функции и их свойства
.2.3. .КвявогнутрГ, зевоятцоетдор. меры,. . .
2.3.1. Определение квазивогнутости вероятностной меры.
2.3.2. Достаточные условия квазивогнутости вероятностной меры .
2.3.3. Достаточные условия выпуклости и квазивыпуклости функции квантили .
2.3.4. Примеры
2.4. Логарифмическая погнутость вероятностной меры
2.4.1. Определение логарифмической вогнутости вероятностной меры
2.4.2. Достаточные условия логарифмической вогнутости
. Л ,111 л. , Л . . . .
вероятностной моры
2.4.3. Пример
3 Стохастический квазиградиентный алгоритм оптимизации
функции квантили
3.1. Введение.
3.2. Постановка задачи квантильной оптимизации
3.3. Определение стохастического квачи градиента функции квантили . .
3.4. Стохастический квазиградиентный алгоритм на основе выборочной
оценки квантили
3.4.1. Стохастический квазиградиентный алгоритм минимизации функции квантили
3.4.2. к Сходимость стохастического, квазш рддиентного алгоритма
на основе выборочной оценки квантили.
3.4.3. Пример использования стохастического квазиградиентного алгоритма на основе выборочной оценки квантили
3.5. Распараллеливание процесса оптимизации функции квантили .
3.5.1. Распараллеливание процедуры вычисления верхней оценки функции квантили
3.5.2. Стохастический квазиградиентный алгоритм на основе децентрализованной оценки квантили
3.5.3. Пример использования стохастического квазиградиентного алгоритма на основе децентрализованной оценки квантили .
3.6. Оптимизация площади ВПП
3.6.1. Постановка задачи.
.дкч, г. V г чгл г г, л . V .
3.6.2. Эквивалентная задача квантильной оптимизации
3.6.3. Обзор существующих методов решения задачи оптимизации площади ВПП.
3.6.4. Применение стохастического квазиградиентного алгоритма
для оптимизации площади ВПП
Заключение
Список литературы


В книге рассмотрен раздел динамических систем, включая принцип Веллмана, детерминированные и стохастические деревья решений, а также прёпроцессинг данных - уменьшение размерности задачи, проверка на разрешимость - и задачи, связанные с системами массового обслуживания. В книге [] рассмотрены задачи стохастического программирования с вероятностным и квантильпым критериями. Исследованы прикладные модели в производстве и экономике с вероятностным и квангильным критериями, свойства функции вероятности и квантили, в том числе их непрерывность и дифференцируемость, выпуклость для некоторых классов задач. Также изложены методы нахождения функций вероятности и квантили, определения нижних и верхних границ для данных функций, условия эквивалентности вероятностной и квантильной постановок, соотношение задачи квантильной оптимизации с минимаксной, огшеаны методы численной оптимизации функций вероятности и квантили. При анализе систем в присутствии случайных параметров но квантильному критерию качества возникает сложности следующего характера. Во-первых, в большинстве постановках квантильного анализа найти аналитическое выражение для квантильного критерия при заданном уровне доверительной вероятности, как правило, невозможно. Это связано с неявным (через вероятность) определением функции квантили. Кроме того, анализ усложняется нелинейностью квантильного критерия. Во-вторых, для статистического оценивания квантили не всегда понятно, сколько нужно провести испытаний, чтобы с заданной точностью оценить искомую величину. В-третьих, если количество опытных данных фиксировано, не понятно как улучшить точность оценки квантили. В силу указанных причин при разработке численных методов для вычисления квантили приходится использовать различные аппроксимации. Обычно применяют аппроксимации двух типов: основывающиеся на статистических оценках и на построении детерминированных границ квантили. Так как в большинстве случаев точное распределение неизвестно, то вместо значения квантили распределения используется сё оценка, полученная по статистической выборке. Работы [о, , , , , , , -, -0] посвящены различным способам статистического оценивания квантилей и свойствам этих оценок. Книга [] посвящена порядковым статистикам, частным случаем которых является выборочная оценка квантили. В [5] исследована асимптотическая теория порядковых статистик. Получено асимптотическое распределение квантилей, а также асимптотическое распределение экстремального (крайнего) значения для различных видов распределений. Альтернативный подход к получению оценок функции квантили был предложен в [) который основывается на решении определённого " функционального 'уравнения:- В1 работе []'впервые была предложена ядериая оценка квантили. В |0] исследовано асимптотическое поведение первых моментов ядерной оценки квантили. В рабою [] сравнивается относительная эффективность выборочной и ядерной оценок квантили. В работе || устанавливается эффективность ядерных оценок в зависимости от типа ядерной функции, а также предлагается процедура выбора оптимальной "ширины окна" из условия минимума среднеквадратического отклонения. В работе [] предложена ядериая оценка условной квантили, а также доказана асимптотическая нормальность ошибки оценки. В [) предложена оценка квантили, полученная из ядерной оценки функции распределения. В работах [], || получено выражение для среднеквадратической ошибки при таком представлении. Данный результат обобщается в работе []. В [] рассматривается вероятность отклонения ядерной оценки квантили от истинного значения квантили. К сожалению, выражения для первых моментов ядерной оценки квантили зависят от выбора конкретного вида ядерной функции. Поэтому актуальной становится задача выбора класса функций для нахождения оптимальной оценки квантили с точки зрения минимума среднеквадратичного отклонения ядерной оценки квантили от истинного значения. В первой главе диссертации рассматривается класс функций с конечным носителем, обладающих условием несмещённости и нормировки. Данный класс плотностей использовался в |6], [], [] в связи с проблемой ядерного оценивания плотности вероятности.