Методы минимаксного оценивания в многомерных линейных моделях наблюдения при наличии геометрических ограничений на моментные характеристики

• Автор: Семенихин, Константин Владимирович
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 326 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение

Список обозначений и сокращений.

Глава 1. Основы теории минимаксного линейного оценивания

1. Линейная неопределенностохастическая модель наблюдения

2. Задача минимаксного оценивания

3. Принцип двойственной оптимизации .

4. Метод регуляризации

5. Численные методы минимаксной оптимизации .

6. Частные случаи множеств неопределенности .

7. Заключение к первой главе.

Глава 2. Методы аналитического синтеза минимаксных оценок .
1. Синтез минимаксных оценок в регрессионной модели общего
2. Статистически неопределенная модель ГауссаМаркова . .
3. Статистически неопределенная байесовская модель наблюдения .
4. Модель линейной регрессии с ограниченными параметрами
5. Неопределенностохастическая система с дискретным временем
6. Заключение ко второй главе
Глава 3. Оценивание по обобщенным вероятностным критериям
1. Минимаксное линейное оценивание относительно функционала общего вида
2. Ссдловая точка обобщенного вероятностного критерия . . .
3. Наименее благоприятное распределение в моделях наблюдения частного вида.
4. Оценивание но вероятностному и квантилыюму критериям .
5. Оценивание относительно функционала ожидаемых потерь .
6. Заключение к третьей главе
Глава 4. Оптимальные свойства линейных оценок
1. Минимаксность на классе аффинных оценок .
2. Оптимальность линейных несмещенных оценок в гауссовском
случае
3. Минимаксность линейных несмещенных оценок
4. Сравнение качества линейных и нелинейных оценок ограниченного параметра
5. Заключение к четвертой главе.
Глав а 5. Минимаксное оценивание в бесконечномерных моделях наблюдения.
1. Корреляционный анализ случайных элементов .
2. Допустимые оценки и процедуры оценивания.
3. Задача оптимального оценивания.
4. Задача минимаксного оценивания.
5. Двойственная задача .
6. Заключение к пятой главе
Глава 6. Решение прикладных задач обработки информации .
1. Робастная идентификация кинематической модели движения
летательного аппарата
2. Определение параметров движения при наличии ограничений 1 3. Оптимизация надежности оценивания координат летательного аппарата
4. Выделение тренда в мультиколлинеарной эконометрической
модели
5. Заключение к шестой главе .
Приложение.
1. Необходимые сведения из линейной алгебры
2. Теоремы о минимаксе
3. Метод условного градиента
Заключение
Список литературы


Таким образом, в данной версии алгоритма нет необходимости решать на каждой итерации задачу одномерной оптимизации (1. GS). При этом в силу следствия П. Следствие 1. Теорема 1. Отметим, что все перечисленные выше результаты о сходимости последовательности приближений сформулированы при чрезвычайно жестком предположении —условии регулярности (1. Для того чтобы преодолеть указанное ограниченно, воспользуемся методом регуляризации (см. Jn(F,J<)-. J{F. K)+a\F\l Fe С. Теперь изложенные выше результаты могут быть применены к построению регуляризова! Fa е arg inin sup Ja(F,K). Сначала опишем соотношение между исходной постановкой (1. К О приводимое ниже утверждение сформулировано в теореме 1. Теорема 1 Пусть минимаксная задача (1. ЯСС выпукло и замкнуто, а множество АС elf7 выпукло и компактно. Ка € arg max^{K), JQ(K) := min . Г (F. К), (1. Fa сходится к решению F исходной минимаксной проблемы (1. J := max J(F. К). Ja := max J(Fa. К в К К в к. Доказательстио первого утверждение получается применением теоремы 1 так как для регуляризованной задачи выполнено условие регулярности ВКВ* +(х1 >- О. Итак, регуляризоваиная минимаксная задача может быть решена на основе метода двойственной оптимизации, причем ее решение будет аппроксимировать искомый минимаксный оператор. Теперь перейдем к изучению проблемы устойчивости регулнризо-ванных минимаксных операторов (1. Выберем последовательность положительных чисел {cv„}, такую что о. I 0 при и ос. Допустим, что в (1. J«*' -J** {! Укажем условия на скорость убывания погрешности /? К <= arg min J**" (F. Ки) (1. F исходной минимаксной проблемы (1. Теорема 1 Если в условиях теоремы 1. Fu —> F. Кроме того, ~3(FV) —» . Доказательство. Как уже отмечалось, регуляризоваиная постановка (1. Поэтому в силу теоремы 1. FV - Ра" Щ < в„/ min amin[BI Ру что и требовалось. Для завершения доказательства остается заметить, что при условии неотрицательной определенности матриц, В К В*, К € К. Итак, погрешность Д решения двойственной задачи не будет влиять на сходимость регуляризованных операторов Д, если она представляет собой бесконечно малую более высокого порядка по сравнению с параметром регуляризации а„, т. Д — о(оси). Возможно также оценить степень неоптимальности используемых приближенных решений. Следствие 1. Допустим, что выполнены условия теоремы 1. С состоит только из неотрицательно определенных матриц. Тогда погрешность приближенного решения (1. Дф„) < // + у'оГИЛЬ + У&(гаж\ВКВ*\/П„ + 1). Доказательство. Из леммы 1. Д - Р-'\^/ш^\ВКВ' + аг1\. Отсюда с учетом (1. Д(К) + а„||Г*Р| < у/3^ + 1— (С + а„). За' сверху с помощью теоремы 1. Д(к) < + ц/зле/а,, +1). Теперь для доказательства требуемого соотношения остается воспользоваться неравенством у/х + у < >/х + у/у, которое верно для любых неотрицательных чисел х. Д) — ГЗ = О (у/а7, + / Д/а,/). Теперь перейдем к обсуждению частных случаев множеств неопределенности, структура которых позволяет существенно упростить задачу минимаксного оценивания. Укажем один важный частный случай, в котором решение двойственной задачи определяется непосредственно. Допустим, что множество К содержит наибольший элемент К, т. KGK и К < К V/CG/C. Fe argmin J(RK). F t Л. Т0 Я ? J(F,I<) V F € . В частности, К будет, тако/се решением двойственной задачи (1. Кроме того, будет справедливо соотношение двойственности (1. Если же определен оператор F из (1. F — минимаксный опе-ратор оценивания, а пара (F,K) — седловая точка. Дсичазатсльство. J(F:K) - J(F, К) = tr[? A?>’] ^ 0. Тем самым доказано, что функционал J(F, •) является монотонным относительно отношения частичного порядка «<». Следовательно, тем же свойством обладает и двойственный функционал J(-). J{F. К) = J(F, К) и sup 1(К) = 1(К). Отметим, что но сравнению с теоремой 1. К, не накладывается. Однако в общем случае данные требования являются существенными.