Оптимизация управления стохастических систем с запаздыванием

• Автор: Аюкасов, Рустам Анатольевич
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 92 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.

1. ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

1.1 Постановка задачи

1.2. Сведение задачи поиска оптимального управления стохастической

системы к детерминированной задаче оптимального управления.

1.3 Управляемость нелинейных стохастических систем с запаздыванием

1.4 Выводы.

2. УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ.

2.1. Необходимые условия оптимальности.

2.2 Необходимые условия сильного экстремума

2.3 Необходимые условия оптимальности управления с обратной связью .
2.4 Оптимальное управление линейных стохастических систем с
запаздыванием
2.5 Примеры построения оптимального управления.
2.6 Выводы.
3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
3.1 Введение.
3.2 Численный метод поиска оптимального управления.
3.3 Пример численного решения
3.4 Выводы.
4. ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ
СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
4.1 Введение.
4.2 Задача оптимизации стохастических систем с запаздыванием.
4.3 Оптимизация управления линейных стохастических систем с
запаздыванием
4.4. Пример
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


Так, например, учет запаздывания в цепи обратной связи в математической модели локатора (уравнение Минорского) позволил обнаружить устойчивые колебания в ЛЬС-контуре на частоте, сильно отличающейся от частоты контура [4,5,6,7,8], ранее этот факт был обнаружен экспериментально. Введение запаздывания в математическую модель процесса обработки детали на токарном станке [9] позволило объяснить возникновение нежелательных вибраций резца. Эффект «галлопирования», наблюдаемый многими исследователями при движении самолета по грунтовому аэродрому, стал очевидным фактом после учета запаздывания в линейном уравнении движения, вызванное временем прохождения самолетом расстояния между передними и задними колесами шасси []. Все вышесказанное позволяет сделать вывод об актуальности развития методов оптимизации управления систем, описываемых дифференциальными уравнениями, содержащими, значения неизвестных функций в различные моменты времени. Впервые детерминированные системы с запаздыванием появились в литературе XVIII в. Эйлера о разыскании общего вида линии, подобной своей эволюте. Однако их изучение началось только в -х годах XX века, в рамках развития теории автоматического регулирования, когда выяснилось, что для описания практических систем необходимо привлекать такой параметр, как время реакции системы. Постановка основной начальной задачи была выполнена А. Д. Мышкисом в году []. Впервые принцип максимума для детерминированных систем с запаздываниями был получен в []. Наиболее полно в упомянутой теории разработан случай, когда запаздывания в управлениях соизмеримы. Однако в ряде случаев рассмотрение детерминированной модели не дает удовлетворительного результата, поскольку например, случайные возмущения параметров могут не только количественно, но и качественно отражаться на результатах анализа динамики систем [, ]. В этих работах условия оптимальности исследуются на основе принципа максимума Понтрягина. Для нелинейных стохастических систем с запаздыванием более полно рассмотрены только задачи анализа [, ]. Задачи поиска оптимального управления стохастических систем с запаздыванием, представленные в иностранной литературе [,,,,,] также исследованы на основе принципа максимума Понтрягин. Однако стоит отметить, что и здесь условия оптимальности управления записывались с использованием принципа максимума. Использование данного подхода предполагает решение стохастических дифференциальных уравнений с запаздыванием для всех реализаций компонент фазового вектора, что в общем случае является практически неразрешимой задачей ввиду бесконечного множества возможных реализаций компонент фазового вектора. Поэтому использовать принцип максимума Понтрягина для нелинейных задач большой размерности (больше 3) практически невозможно. Колмогорова-Фоккера-Планка (КФП). Используя в качестве дифференциальной связи уравнение КФП можно рассматривать целое семейство (пучок) траекторий, описываемых исходными стохастическими дифференциальными уравнениями, определенных плотностью распределения вероятности начального состояния' системы, управляющими параметрами и функциями управления. Такой подход позволяет, использовать для решения задач оптимального управления? Как известно [] процесс, описываемый стохастическими дифференциальными уравнениями с запаздыванием в общем случае не является Марковским процессом, и следовательно к нему не применим аппарат уравнения КФП. Одним из способов преодоления данной трудности является операция разбиения исходного временного интервала решения- задачи на отрезки, равные значению запаздывания; Используя расширение фазового' пространства [], можно представить исходную систему стохастических дифференциальных уравнений с запаздыванием в виде последовательности стохастических дифференциальных уравнений без последействия, описывающих диффузионный Марковский процесс на каждом из последовательно примыкающих интервалов, равных значению запаздывания [ ,]. Целыо данной работы является получение необходимых условий оптимальности управления стохастических систем с запаздыванием на основе теории диффузионных Марковских процессов и разработка численных методов поиска оптимального управления со сходимостью алгоритмов решения к необходимым условиям оптимальности.