Улучшенное оценивание параметров регрессии с импульсными помехами

• Автор: Пчелинцев, Евгений Анатольевич
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 139 с. : ил.

Оглавление

Список обозначений

Введение

1 Улучшенное оценивание в регрессии с условногауссовскими шумами

1.1 Введение. Постановка задач .

1.2 Улучшенное оценивание в условногауссовской регрессии с дискретным временем

1.3 Улучшенное оценивание в авторегрессии.

1.4 Улучшенное оценивание в негауссовской регрессионной

модели с непрерывным временем.

1.4.1 Свойства процедуры оценивания для непрерывной регрессии с шумами Леви.

1.4.2 Свойства процедуры оценивания для непрерывной модели с шумами Орнштейна Уленбека . .
1.5 Асимптотическая минимаксность оценок
1.6 Выводы
2 Оценивание параметрической регрессии с импульсными шумами по дискретным наблюдениям
2.1 Введение. Постановка задачи.
2.2 Выбор оценки. Основные результаты для модели с семи
мартингальным шумом .
2.3 Свойства процедуры оценивания для шумов импульсного типа
2.4 Минимаксная граница для рисков оценок
2.5 Выводы
3 Имитационное моделирование
3.1 Результаты моделирования для модели с шумами Леви .
3.2 Результаты моделирования. Процесс Орнштейна Уленбека .
3.3 Выводы
4 Свойства стохастических интегралов Ито по процессам Леви и Орнштейна Уленбека. Некоторые сведения из теории оценивания
4.1 Семимартингалы. Формула Ито для семимартингалов . .
4.2 Свойства стохастических интегралов
4.3 Вспомогательные результаты из теории оценивания .
4.4 Локальная асимптотическая нормальность семейства распределений .
Заключение
Литература


Это открывает возможности эффективного решения целого ряда задач статистики случайных процессов, связанных с обработкой данных и спектральным анализом. Задача идентификации параметров динамических систем с непрерывным временем изучается обычно в предположении, что система наблюдается непрерывно. В тех случаях, когда непрерывное наблюдение не может быть реализовано, задача оценивания параметров решается по дискретным данным. В работе В. А. Васильева и В. В. Конева [8] был предложен последовательный метод гарантированной идентификации линейной стохастической динамической системы по зашумленным наблюдениям в дискретные моменты времени. При изучении свойств различных процедур идентификации приходится учитывать, что на их качество может существенно влиять неточное знание структурных функций в уравнениях, а также неконтролируемые дополнительные помехи, действующие на систему. Неконтролируемые помехи могут возникнуть, например, в результате импульсных воздействий на систему. При этом естественно требовать, чтобы процедура идентификации обладала определенной робастностью, устойчивостью к изменению характеристик шумов, чтобы неполное статистическое описание процессов, действующих на систему, не приводило к существенному снижению качества оценок нєизе*єстньіх параметров. Во многих задачах, связанных с обработкой информации широко используются регрессионные модели [1, 4, 7]. Методы идентификации регрессионных моделей можно разделить условно на два класса — параметрические и непараметрические. Наиболее полное исследование регрессионных моделей с непрерывным временем проводилось в предположении, что помеха представляет собой белый гауссовский шум. Однако в последние годы в статистике случайных процессов стали применяться более сложные модели для описания шумов, действующих на систему, которые позволяют, в частности, описать и импульсные помехи. Для этого потребовалось построить стохастические интегралы относительно семимартингалов, а также доказать для них основную формулу стохастического исчисления Ито. В данной работе рассматриваются задачи оценивания параметров в регрессионных моделях с дискретным и непрерывным временем, являющихся условно - гауссовскими относительно ненаблюдаемого шумового процесса. Ь)(И 4- 0 < ? Предполагается, что случайное возмущение (? При этом импульсные воздействия происходят в случайные моменты времени и имеют случайную амплитуду. Функции (ф3) ]<;<й образуют ортонормированную систему в пространстве ? Вектор неизвестных параметров (0Ь. Д/) принадлежит некоторому ограниченному множеству (-) С М**. Семимартингальный процесс (&)<>о позволяет описать широкий класс шумов импульсного типа, включая процессы Леви и Орнштейна — Уленбека. Основная цель работы — построить оценки неизвестных параметров процессов с дискретным и непрерывным временем для условногауссовских моделей, превосходящие по среднеквадратической точности обычные оценки по методу наименьших квадратов (МНК). X — матрица известных коэффициентов размера d х т, 0 — m-мерный вектор неизвестных параметров, е — d-мерный гауссовский вектор с нулевым средним Ее = 0 и ковариационной матрицей Еее' = о. Х'Х)-1Х'у. В году К. Гаусс предложил метод наименьших квадратов, который получил широкое распространение в прикладных задачах. В году Гаусс доказал оптимальность оценки МНК, считая ошибки случайными с нулевыми средними и конечными вторыми моментами []. Вероятностная интерпретация этого результата принадлежит A. A. Маркову () []. Сейчас теорема Гаусса — Маркова хорошо известна. Теорема. Хв некоррелированы. Класс моделей, рассматриваемых в задачах идентификации динамических систем весьма широк. Он охватывает модели с дискретным и непрерывным временем, описываемые соответственно стохастическими разностными и стохастическими дифференциальными уравнениями. В последние годы в связи с развитием общей теории случайных процессов появилась возможность унифицировать методы построения решающих процедур в задачах статистики случайных процессов с дискретным и непрерывным временем.