Численное моделирование длинноволновых возмущений в жидкости и плазме

• Автор: Попов, Сергей Петрович
• Шифр специальности: 01.02.05, 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 270 с. : ил

Оглавление
Введение

1 Исследование одномерных эволюционных уравнений гидродинамического типа.

1.1 Численное исследование длинноволнового регуляризованного уравнения

1.1.1 Численная схема и тестовые расчеты.

1.1.2 Взаимодействие двух солитонов.

1.1.3 Задача о распаде прямоугольного положительного

импульса

1.1.4 Задача о распаде прямоугольного отрицательного

импульса

1.1.5 Задача о взаимодействии солитонов и оспиллятор

ных волн
1.1.6 Задача о распаде разрыва в начальных данных. . .
ф 1.1.7 Точное солитонное решение для сильно нелинейного уравнения
1.2 Изучение особых режимов генерации солитонов уравнения БенджаминаОно
1.2.1 Общие сведения о постановках задач и схемах .
1.2.2 Осцилляторные волны и их взаимодействие с со
л итонам и
1.2.3 Общие закономерности генерации солитонов движущимися источниками.
1.3 Тонкая временная и пространственная структуры периодических решений.
1.3.1 Введение.
1.3.2 Эффект возврата для уравнений Бенджамина
Оно и Кортевега де Вриза
1.3.3 Неустойчивость пилообразного решения модифицированного уравнения Бюргерса
Двумерные солитоны ЗахароваКузнецова.
2.1 Физические основы уравнения ЗахароваКузнецова
2.2 Структура двумерных локализованных солитонов
2.3 Численная схема и е тестирование.
2.4 Устойчивость двумерных солитонов
2.4.1 Численные доказательства неустойчивости плоского солитона.
2.4.2 Устойчивость симметричных и плоских наклонных солитонов.
2.5 Парные столкновения плоских и симметричных солитонов
2.6 Взаимодействия симметричных солитонов.
2.6.1 Лобовые столкновения
2.6.2 Нелобовые столкновения.
2.7 Генерация симметричных солитонов
Численное исследование решений плазменного уравнения КадомцеваПетвиашвили
3.1 Вывод плазменного уравнения Кадомцева Петвиашвили
3.2 Точные солитонные решения.
3.2.1 Рациональные солитоны
3.2.2 Линейные солитоны
3.2.3 Законы сохранения .
3.2.4 Многосолитонные решения .
3.3 Численная схема и тестовые расчеты
3.4 Исследование устойчивости двумерных солитонов
3.4.1 Неустойчивость линейных солитонов
3.4.2 Устойчивость рациональных солитонов.
3.5 Парные взаимодействия линейных и рациональных солитонов
3.6 Парные взаимодействия рациональных прямых солитонов
3.6.1 Лобовые столкновения.
3.6.2 Нелобовые столкновения.
3.7 Парные взаимодействия наклонных рациональных солитонов
3.8 Численные решения уравнения КадомцеваПетвиашвили
с Источниковыми членами .
4 Примеры численных решений устойчивого уравнения КадомцеваПетвиашвили
4.1 Краткий асимптотический вывод уравнения
4.2 Конечноразностные схемы.
4.3 Генерация прямых солитонов источником
4.4 Структура течений, порождаемых стоком
4.5 Периодическая задача Коши
5 Решение некоторых прикладных задач теории длинных волн
5.1 Численное моделирование нестационарного отрыва в классическом пограничном слое.
5.1.1 Отрыв пограничного слоя одиночным вихрем .
5.1.2 Возмущение пограничного слоя, индуцированное
солитоном КдВ
5.2 Взаимодействие гидравлического прыжка с рельефом дна
в мелкой воде
5.3 Оценка характеристик волн, вызванных падением космических тел в океаны.
5.3.1 Распространение волн на больших расстояниях от места удара
5.3.2 Взаимодействие одиночной волны с рельефом дна
Заключение
Основные результаты, представленные в диссертации.
Список литературы


Численное решение устойчивого уравнения Кадомцева- Петвиашвили проводится конечно-разностной схемой,основанной на алгоритме Shasta с коррекцией потоков для нелинейных слагаемых с вычислением интегрального члена по правилу трапеций с неявной аппроксимацией второй производной по Y (раздел 4. Совместно со спектральной схемой используемой в главе 3, она составляет базу для численного моделирования исследуемого в диссертации класса двумерных эволюционных уравнений. Устойчивое уравнение Кадомцева-Петвиашвили имеет только одно простейшее солитонное решение - плоский, абсолютно устойчивый со-литон Кортевега-де Вриза. Процесс его образования внешними источниками в канале конечной ширины детально обсуждается в 4. В 4. Проведено исследование зависимости решений от параметров. Представлен пример решения, когда возмущения в поток вносятся не правой частью, а через возмущение граничных условий. Данная постановка моделирует формирование судовых волн. Глава 5. Решение некоторых прикладных задач теории длинных волн. Раздел 5. Кортевега-де Вриза. Вторая часть главы посвящена изложению численных результатов по двум задачам, описываемым приближением ”мелкой воды”. В разделе 5. Отмечается, что локальные изменения дна, охватывающие всего незначительную часть течения, могут приводить к глобальной перестройке всего течения. В разделе 5. Определяются законы затухания волн на больших расстояниях от места удара, а также характерные изменения в форме одиночной плоской волны при прохождении над различными рельефами дна. Исследование одномерных эволюционных уравнений гидродинамического типа. Численное исследование длинноволнового регуляризованного уравнения. Для описания распространения волн на мелкой воде к настоящему времени предложено ряд моделей, среди которых наиболее перспективными являются различные модификации уравнений Буссинеска. В работе [1. Ut + их + иих - uxxt = 0. В отличие от уравнения Кортевега-де Вриза это уравнение, несмотря на внешнее сходство, имеет существенные отличия в поведении решений. К общим теоретическим результатам для RLW относится доказательство существования и единственности задачи Коши, а также устойчивости его решений [1. RLW с вязкими членами при ? Уравнение RLW не инвариантно относительно сдвига Галилея, для него известно три закона сохранения [1. Известно, что уравнение RLW имеет точные солитонные решения, которые могут быть положительными (Р— солитоны), либо отрицательными (п— солитоны). Подробнее о их структуре будет сказано ниже. Наиболее полно численными методами изучены парные солитонные взаимодействия. Показано, что они зависят не только от отношения амплитуд взаимодействующих партнеров, но и от самих амплитуд. При этом существенную роль могут играть диссипативные процессы, приводящие иногда даже к аннигиляции солитонов. Необычность поведения решений, а также широкий круг приложений, объясняют повышенный интерес к его всестороннему исследованию. Применение численных методов для RLW усложняется необходимостью аппроксимации перекрестного дифференциального слагаемого, что приводит к предпочтительности использования неявных методов. Примером может служить задача об определении фазовых и амплитудных сдвигов солитонов, имеющих место при взаимодействии двух или нескольких солитонов с близкими амплитудами. Искомые эффекты составляют -3 —~5 от основных величин. Следует признать, что эти примеры все же являются исключительными и, как показали результаты всесторонних численных исследований многих задач, большинство эффектов может быть обнаружено при использовании менее точных схем. Численная схема и тестовые расчеты. Предлагаемый метод FCT—RLW состоит из двух последовательных этапов. Сначала разрешается часть уравнения (1. Щ + [(1 + и/2)и]х = 0, (1. Он обладает малой диссипацией и монотонностью, вторым порядком точности по координате и первым по времени. К},{ 1 + 1«;}, 0,1). При расчете последнего уравнения использовался метод обычной прогонки (для периодических задач - циклической ), который безусловно устойчив, и условие устойчивости всей схемы определяется алгоритмом (1. Среди схем данного класса по точности наиболее известным является метод Перегрина [1. Нхи? Дtuf = (u™+l -и?