Разрешимость начальных и краевых задач для линейного функционально-дифференциального уравнения точечного типа

• Автор: Крученов, Михаил Борисович
• Шифр специальности: 01.01.09, 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 99 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Задача Коши для линейного однородного функциональнодифференциального уравнения точечного типа

1.1 Постановка задачи.

1.2 Основные пространства и операторы.

1.3 Эквивалентная бесконечномерная краевая задача.

1.4 Спектральные аспекты .

1.5 Теорема существования решения скалярный случай.

1.6 Теорема единственности решения скалярный случай

1.7 О разрешимости в случае многомерного фазового пространства

Глава 2. Краевая и начальнокраевая задачи для неоднородного функциональнодифференциального уравнения точечного типа
2.1 Предварительные сведения
2.2 Теорема существования решения для краевой задачи А . . .
2.3 Теорема существования решения для основной начально
краевой задачи Б.
Глава 3. Об одной математической модели
3.1 Постановка задачи.
3.2 Существование решения изучаемой начальнокраевой задачи
3.3 Существование решения однородной задачи.
Заключение
Список литературы


Потребность изучения указанных свойств решений мотивируется многочисленными приложениями (например, задачами оптимального управления системами с дифференциальными связями в виде ФДУ [3, б], задачами экономической теории, социологии, биологии). Системное исследование уравнений с отклонением аргумента в нашей стране в конце -х годов XX века начал А. Д. Мышкис, в США - Р. Веллман. На данный момент существует огромное число работ, посвящённых этой проблематике. Достаточно сказать, что библиографический список в монографии [] (доведённый до года и. Теорию ФДУ точечного типа можно условно разделить на две части: наивную и современную. Наивная теория включает в себя метод интегрирования по шагам, метод интегральных преобразований (в частности - преобразования Лапласа) и т. Развёрнутое изложение данной теории содержит монография []. Определяющим при данном подходе является то обстоятельство, что за фазовое пространство традиционно принимается п-мерное пространство. Для таких уравнений интегральные линии в расширенном фазовом пространстве Е х Е” могут пересекаться и, соответственно, преобразования расширенного фазового пространства Е х Еп в силу уравнения не образуют процесса, а в автономном случае не являются динамической системой [, , , , , ]. H.H. Красовским, лежит трактовка решения ФДУ как интегральной линии в расширенном бесконечномерном фазовом пространстве Е х С []. Движение в фазовом пространстве С непрерывных функций в каждый момент времени t задается куском траектории xt = {я(? Ь5) : — г < s < 0}, где х(-) интегральная линия в стандартном конечномерном расширенном фазовом пространстве Е х Еп. На этом пути получены теоремы существования и единственности решения для начальной задачи. Изучались свойства как классических [, , , , , , , , ], так и обобщенных решений [, , , ]. В основе всех отмеченных исследований лежит изучение в пространстве С свойств оператора сдвига вдоль решений таких уравнений [, , , , , ]. Этапной работой, в которой теория ФДУ точечного типа систематически изложена с такой позиции, является монография []. Все результаты, полученные па этом пути, касаются кусков € С интегральной линии х(-). Вместе с тем, при таком подходе нет описания области достижимости в Е. Более того, указанный подход не применим к ФДУ точечного типа общего вида, которые, в частности, возникают как уравнения Эйлера - Лагранжа для задачи классического вариационного исчисления. Следует отметить идею трактовки ФДУ как операторного уравнения относительно неизвестной абсолютно непрерывной функции. Эта идея развита в теории абстрактных ФДУ, сводящихся к операторным уравнениям в специально выбранном банаховом пространстве, причём структура этого пространства является определяющим фактором при исследовании той или иной конкретной задачи [1]. Ряд исследований различных классов ФДУ и дифференциально-разностных уравнений выявил, что свойства решений таких классов уравнений оказываются тесно связанными как со структурой группы, порождённой функциями отклонений аргумента, так и с топологической структурой орбиты такой группы [6, 7, 8, 9, , , , , , , , ]. Как оказалось, использование отмеченных связей является ключом к исследованию ФДУ точечного типа и дифференциально-разностных уравнений. Подход, основанный на групповых особенностях функционально-дифференциальных уравнений точечного типа, был разработан и систематически развит в работах Л. А. Бекларяна. ФДУ точечного типа. Суть группового подхода в следующем. Если qjt ^ = 1,. С? =< ] = 1,. ОДУ), каноническим образом порождённому исходным ФДУ. Для развития такого подхода Л. А. Бекларя-ном была исследована группа С} =< (^, j = 1,. В частности, это позволило получить классификацию ФДУ точечного типа по степени сложности функций отклонения аргумента [, ]. При таком подходе к изучению ФДУ точечного типа основное внимание уделяется исследованию свойств вектор-функций >*•(? Полученные свойства оказались весьма информативными для таких уравнений, и в рамках группового подхода удалось ответить на многие важные вопросы. Описаны препятствия, в силу которых решения ФДУ точечного типа не наследуют всех замечательных свойств решений ОДУ. Важнейшим из таких препятствий является отсутствие условий типа неравенства Гроиуолла [, с.