Дифференциальные уравнения инвариантных подмоделей континуума

• Автор: Бытев, Владислав Олегович
• Шифр специальности: 01.01.02, 05.13.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 248 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение

1. Чисто механический континуум .

и. 1.1. Определяющие уравнения чисто механического континуума .

п. 1.2. Решение определяющих уравнений

п. 1.3. Основная алгебра Ли и система уравнений на компоненты тензора напряжений

2. Преобразования эквивалентности уравнений чисто

механического континуума

п. 2.1. Основные уравнения модели .

п. 2.2. Одномерный случай .

п. 2.3. Двумерный и трехмерные случаи .

3. Групповая классификация моделей чисто механиче
ского континуума .
п. 3.1. Определяющие уравнения двухпараметрического
чисто механического континуума
п. 3.2. Структура тензора вязких напряжений и уравнения
состояния чисто механического континуума
п. 3.3. Некоторые модели.
1. Одномерные модели
2. Двумерные подмодели
3. Трехмерные подмодели .
4. Изотропные модели
5. Анизотропные модели.
4. Уравнения состояния.
п. 4.1. Классификация уравнений состояния .
п. 4.2. Примеры уравнений состояния .
п. 4.3. Линейные структуры
1. Двумерные линейные модели
2. Трехмерные линейные модели.
5. Одномерные нестационарные течения чисто механи
ческого континуума
п. 5.1. Преобразование эквивалентности .
п. 5.2. Точечные преобразования
п. 5.3. Касательные преобразования .
6. Классическая теория возмущений и ее теоретико
групповая характеристика
п. 6.1. Основная группа Ли для системы уравнений Навье
Стокса с условием аддитивности
п. 6.2. Групповые свойства возмущенной бесконечной
системы уравнений вязкой несжимаемой жидкости
7. Точные решения .
п. 7.1. Одномерные нестационарные решения в задачах
реологии.
п. 7.2. Простые волны в уравнениях Эйлера
п. 7.3. Неустановившиеся движения вращающегося кольца вязкой несжимаемой жидкости со свободной границей
1. Постановка задачи .
2. Радиальное движение кольца.
3. Априорные оценки
4. Теорема существования и единственности.
5. Качественное описание движения .
6. Движение кольца идеальной жидкости.
п. 7.4. Инвариантные решения уравнений НавьеСтокса
1. Движение сферического слоя.
2. Пример неединственности решения задачи Коши
3. Движение в криволинейной трубе .
4. Спиральные движения
Заключение
Список использованных источников


Следующей задачей, рассмотренной в точной нелинейной постановке, является задача об описании неустановившихся движений вращающегося кольца вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами. Здесь доказана глобальная по времени однозначная разрешимость поставленной задачи, найдены ее асимптотики. Приведен результат для идеальной жидкости, совершающей существенно вихревое движение. Наконец, последовательно рассмотрена задача о движении сферического слоя со свободной границей, приведен пример неединственности решения задачи Коши в классе решений с линейным ростом скоростей и квадратичным — давления, обобщающий пример Е. Хопфа (последний построен для уравнений Эйлера). Изучены движения в криволинейных каналах и спиральные движения; для них доказана теорема существования и единственности. Материалы диссертации использовались при чтении специальных курсов лекций и выполнении дипломных работ на математическом факультете Красноярского госуниверситета. Работа поддержана Красноярским краевым фондом науки, гранты Р1Р, 9Р, и РФФИ, проект X* 0. В этом разделе определяется место и роль чисто механического континуума как простой неполярной среды в общих реологических моделях. Хорошо известно, что одних законов сохранения недостаточно для того, чтобы написать полную систему уравнений движения сплошной среды. Чтобы это было возможно, необходимо ввести так называемые определяющие уравнения, иначе, уравнения, связывающие различные параметры, которые входят в описание сплошной среды. Навье - Стокса в классической теории жидкости и т. Сколько-нибудь общая теория определяющих уравнений, к сожалению, отсутствует. Тем не менее имеется несколько подходов к получению определяющих соотношений. Во-первых, из уравнения Больцмана или модельных уравнений типа БГК и т. Однако, как было показано, при существующих методах исследования кинетического уравнения Больцмана эта проблема не разрешима в принципе /1/, /2/, /3/. Во-вторых, экспериментальные исследования. В-третьих, методы, основанные на некотором вариационном принципе //, //, //, //. В-четвертых, теоретико-групповые методы, базирующиеся, как правило, на теории инвариантов той или иной наперед заданной группы преобразований //, //, /3/. Уи] — сНуП + Ур = 0, (1. Ну (ри) = 0. Уравнения движения конкретной сплошной среды получаются из (1. П и задания уравнения состояния. П^ = Ш‘ (г,у = 1,2,,^). Описываемая среда — континуум с чисто механическими свойствами. Это означает, что тензор П зависит только от тензора Уи. Среда является двухпараметрической (в термодинамическом смысле). Это предположение потребуется для построения уравнений состояния, замыкающих систему (1. Замечание 1. Эти предположения не носят принципиального характера, а преследуют лишь одну цель: упростить вычисления. Для получения определяющих уравнений на компоненты тензора П и как следствие этого — возможные структуры его, поставим задачу групповой классификации /8/ системы (1. П(Уи). Ро + «4Р* + “'р? Подействуем на систему уравнений (1. Д = д/дхг + рд/ди1 4- г^д/др^. Со + «*Ч? С® = 0 (* = 1,2,3), (1. Со + «4С* + икС + Ы + '№ = 0. Переходя в уравнениях (1. Р& = -С«4)-1? Н-'р? ЗП“ ~ 9р? Зр? У + («ТУ^? Й -р! Поскольку коэффициенты инфинитезимальных операторов не зависят от гз1,р1-, то производя расщепление уравнений (1. ЭПuacJ » (dnkt df дПк‘ ,д? P} dpf du' ? V dp? O®* + dp? V + (,r,(,) = О (I = 1,2,3), {«V Адт? Из (1. Л,‘+»‘Й + ё = 0 (1. Р = ^ + и№_Ж-иЫд-? Расщепляя (1. Й + Й"#- С"**. Но в силу (1. Эх-? Запишем отдельно оставшуюся часть уравнений (1. I и4? У , „ 0У , д2? Ргдх$дх1 к= 1,2,3. Л.^-. I*. У (*=1-2,3). V о _ _ , дг? Й-? Из (1. Тогда из (1. Й-З-З-си. В результате проделанных расщеплений получаем систему дифференциальных уравнений для определения коэффициентов инфинитезималь-ных операторов и систему определяющих уравнений на компоненты тензора вязких напряжений, которая будет играть роль ограничений, накладываемых на“широтумгруппы, допускаемой в смысле Ли системой (1. Вначале выпишем систему уравнений на коэффициенты ? Р = ! Э2Р <9? А = 1,2,3); ^ = 0 (А = 1,2,3,4). Так как С определена равенством (1.