Эффективные математические методы вычисления цен опционов в моделях, допускающих скачки

• Автор: Кудрявцев, Олег Евгеньевич
• Шифр специальности: 08.00.13
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 273 с. : ил.

Содержание
Введение .

Обзор литературы.

Глава 1. Метод Быстрой факторизации ВинераХопфа для

моделей Леви

1.1. Процессы Леви определения и основные свойства

1.2. Виды процессов Леви, применяемые при моделировании финансовых рынков

1.3. Некоторые обобщения моделей Леви

1.4. Факторизация ВинераХопфа.

1.5. Метод Быстрой факторизации ВинераХопфа.

1.6. Интегродифферепциалыюс уравнение для расчта цен опционов

1.7. Выводы к первой главе.
Глава 2. Эффективные математические методы вычисления барьерных опционов в моделях, допускающих скачки
2.1. Начальнокраевые задачи для уравнения Колмогорова случай
барьерных опционов.
2.2. Метод горизонтальных линий и метод БФВХ для вычисления
безарбитражиых цен барьерных опционов
2.3. Преобразование Лапласа и метод БФВХ для вычисления без
арбитражных цен барьерных опционов.
2.4. Метод ВииераХопфа для конечноразностных схем барьерные опционы
2.5. Началыгокраевая задача для системы обратных уравнений Колмогорова случай модели Леви с переключением режимов . . .
2.6. Выводы к второй главе
Глава 3. Эффективные математические методы вычисления цифровых опционов первого касания в моделях Леви.
3.1. Начальнокраевая задача для уравнения Колмогорова вычисление вероятности первого перехода через барьер.
3.2. Метод горизонтальных линий и метод БФВХ для цифровых опционов первого касания
3.3. Цифровые опционы первого касания в модели Коу
3.4. Асимптотические методы вычисления цифровых опционов первого касания
3.5. Выводы к третьей главе.
Глава 4. Математические методы оценки рисков в таможенной деятельности
4.1. Риски в таможенной деятельности
4.2. Анализ и оценка таможенных рисков
4.3. Оценка риска получения платежей ниже планового показателя
4.4. Реальные опционы в контексте управления рисками в таможенной деятельности .
4.5. Выводы к четвртой главе.
Глава 5. Результаты численных экспериментов
5.1. Барьерные опционы
5.2. Цифровые опционы первого касания.
5.3. Метод ВинераХопфа для конечноразностных схем.
5.4. Выводы к пятой главе.
Заключение.
Литература


Лапласа выводилось из распределения момента первого перехода через барьер. Когда преобразование Лапласа найдено, то необходимо воспользоваться подходящим численным алгоритмом обращения, чтобы найти исходную функцию цены. В ряде работ исходный процесс аппроксимировался моделью Коу или ее обобщением ГЭДС, а затем использовался метод, основанный на преобразовании Лапласа см. Однако задача обращения преобразования Лапласа сама по себе нетривиальна с вычислительной точки зрения. Существует много различных численных методов решения этой задачи, но часть из них, в частности популярный в финансовой математике алгоритм ГавераСтехфеста, требует использования длинной арифметики. ПостаВиддера, использующей дифференцирование вместо интегрирования. Адресуем читателя к обзору численных методов обращения преобразования Лапласа, который содержит описание оптимизированного метода ГавераСтехфеста. Заметим, что в ряде работ см. ГавераСтехфеста дат удовлетворительные результаты для моделей диффузии с экспоненциально распределнным и скачками модель Коу и ее обобщения. В этом случае, можно использовать стандартную двойную точность вычислений. Однако часто в контексте обращения преобразования Лапласа см. Ещ одна особенность, которая часто уменьшает скорость вычислений заключается в том, что значения преобразования Лапласа должны быть найдены в нескольких различных точках минимум в . За исключением небольшого частных случаев, когда преобразование может быть найдено в явном виде модель БлэкаШоулса, Коу и некоторые другие, эти вычисления занимают много времени. Наконец, когда для определения цен опционов используется преобразования Лапласа, необходимо воспользоваться алгоритмом численного обращения преобразования отдельно для каждого начального значения цены акции. Следующая большая группа методов имеет дело с численными методами решения обобщнного уравнения БлэкаШоулса. Метод деревьев прост в реализации, но демонстрирует медленную сходимость см. Метод Галркина основан на вариационной формулировке ИДУЧП, достаточно сложен в реализации и требует дополнительного программного инструментария и больше памяти, чем, например, конечноразностные схемы см. Основной недостаток вариационных методов заключается в том, что для процессов Леви ограниченной вариации, сходимость метода может быть доказана только в норме пространства Соболева IIя, где 5 12 следовательно, сходимость по норме пространства С непрерывных функций не гарантирована. Метод обратной индукции представляет собой последовательное вычисление сврток с плотностью вероятностей, которые могут быть записаны в терминах характеристической экспоненты 5, 4. Указанные методы хороши для дискретно наблюдаемых опционов, см. Однако, в непрерывном случае метод обратной индукции демонстрирует достаточно медленную сходимость см. В конечноразностных схемах производные заменяются на конечные раз ности, а интегральная часть оператора, отвечающая за скачки в цене акции, заменяется на дискретную сумму. В процессе построения конечноразностной схемы происходит дискретизация по пространственной и временной переменным, усечение больших скачков и аппроксимация малых. Усечение больших скачков необходимо для получения конечного числа слагаемых в интегральной сумме, аппроксимация малых скачков нужна в случае, когда мера Леви имеет неинтегрируемую особенность в нуле. В результате мы получаем систему линейных уравнений, которую нужно решить на каждом шаге по времени, начиная с момента исполнения опциона. Для ускорения вычислений, в работах 0, 6, 0 интегральная часть находилась явно с помощью решения, полученного на предыдущем шаге, в то время как дифференциальная часть участвовала в уравнении неявно. Этот прим приводит к некоторой потери точности, но получаемая система имеет трехдиагональный вид и решается за 0М 1пМ операций. В данной диссертации будут предложены эффективные математические методы решения задачи ценообразования опционов в моделях, допускающих скачки. Указанные методы будут опираться на метод приближенной факторизации ВииераХопфа.