Учение о правильных многоугольниках в историческом развитии

• Автор: Прояева, Ирина Владимировна
• Шифр специальности: 07.00.10
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Оренбург
• Количество страниц: 165 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .Б

1. ОБЩИЙ ОБЗОР ИСТОРИИ УЧЕНИЯ

О ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКАХ

1.1. Правильные многоугольники в древности .

1.2. Правильные многоугольники и число к . . .

1.3. Правильные многоугольники в античной науке

1.4. Подход ученых стран ислама

к теории правильных многоугольников.

1.5. Правильные многоугольники в Европе

1.6. Правильный многоугольник как элемент

правильного многогранника.
1.7. Правильные многоугольники в игровых задачах.
2. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ПРАВИЛЬНЫХ ФИГУР,
ДОПУСКАЮЩИХ ТОЧНОЕ ПОСТРОЕНИЕ
С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ
2.1. Правильные треугольники и шестиугольники
2.1.1. Древни Греции
2.1.2. Восточное средневековье
2.1.3. Европа.
2.1.4. Правильные треугольники и шестиугольники
как элементы многогранника
V
2.2. Правильные четырехугольники, восьмиугольники и шестнадцатиугольники.
2.2.1. Древняя Грецис
2.2.2. Страны ислама
2.2.3. Европа.
2.2.4. Квадрат как грань куба.
2.3. Правильные пятиугольники, десятиугольники и пятнадцатиугольники
2.3.1. Начала Евклида
2.3.2. Альмагест Птолемея
2.3.3. Построения правильных пяти и десятиугольника
у АбулВафы алБузджани.
2.3.4. Правильные пяти и десятиугольники
в работах других средневековых математиков
2.3.5. Правильные пяти и десятиугольники
в трудах европейских ученых
2.3.6. Приближенные построения правильного пятиугольника А. Дюрера и Леонардо да Винчи
2.3.7. Правильные пяти и десятиугольники
в природе, архитектуре и искусстве.
2.3.8. Правильный пятиугольник как грань многогранника .
3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ,
НЕ ДОПУСКАЮЩИХ ТОЧНОГО ПОСТРОЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ
3.1. Задача о построении правильного семиугольника
3.1.1. Построение правильного семиугольника у Архимеда .
3.1.2. Построения правильного семиугольника с помощью конических сечений на средневековом Востоке
3.1.3. Приближенное построение правильного семиугольника АбулВафы алБузджани
3.1.4. Построение правильного семиугольника в Европе . . .
3.2. Построение правильного девятиугольника
3.2.1. Построения правильного девятиугольника в работах арабских ученых .
3.2.2. Вычисление стороны правильного
девятиугольника на средневековом Востоке
3.2.3. Приближенные построения правильного девятиугольника в эпоху Возрождения .
3.3. Построение правильных одиннадцатиугольников и тринадцатиугольников
4. УЧЕНИЕ О ДЕЛЕНИИ ОКРУЖНОСТИ НА РАВНЫЕ ЧАСТИ И ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ СВЯЗАННЫХ С НИМ ИДЕЙ Х1ХХХ ВВ.
4.1. Теория Гаусса деления окружности на п равных частей .
4.2. Дальнейшее развитие теории Гаусса деления окружности на равные части.
4.3. Вклад русских математиков в теорию деления окружности
на равные части
4.4. Деление окружности на равные части с помощью различных
геометрических инструментов
4.5. Деление окружности на равные части
в неевклидовых геометриях 1.
4.6. Разбиение пространства правильными телами
ЗАКЛЮЧЕНИЕ .
ЛИТЕРАТУРА


Однако, были найдены приближенные значения я, которые давали решение поставленной задачи, вполне удовлетворительное с точки зрения практики. Кроме того, эти методы оказались пригодными и для решения других важных задач. В основе приближенных античных методов определения площади круга лежала идея исчерпать круг правильными вписанными многоугольниками, постоянно удваивая число их сторон. В V в. Антифон предложил вписать в круг квадрат, затем правильный восьмиугольник, шестнадцатиугольник и продолжать этот процесс до тех пор, пока не будет исчерпан весь круг , с. В конце концов подучается многоугольник, который вследствие малости своих сторон, совпадает с кругом. Значит, круг можно заменить равновеликим многоугольником. Но известно, что для всякого многоугольника может быть построен равновеликий ему квадрат. Следовательно, можно построить квадрат, равновеликий данному кругу. Современник Антифона Бризон пошел еще дальше, присоединив к вписанным многоугольникам описанные и введя, тем самым, в математику понятие о нижней и верхней границах , с. Площадь круга оказалась ограниченной сверху и снизу последовательностями площадей правильных описанных н вписанных многоугольников. Отсюда было получено ее приближенное значение. Было показано также, что периметры правильных многоугольников при бесконечном увеличении числа сторон приближаются к общему значению длине окружности. Э.И. Березкина показала , с. Лю Хуэй II в. Математике в 9 книгах для измерения площади круга использует последовательность правильных вписанных пугольников при п 6,, , ,,2. Комментатор индийского математика Бхаскары род. Оп сторона вписанного правильного пугольника, адп сторона вписанного правильного 2пугольника и К радиус, последовательно определялись периметры многоугольников с , , , ,2, 4 сторонами. Сторона 4угольника принималась приблизительно равной стягивающей ее дуге окружности. Впервые об этом упоминает А. И. Володарский , с. Подсчеты же, произведенные И. И. Суфияровой н Г. А. Зверкнной , с. Среднеазиатский ученый Джамшид Гияс адДин алКаши Х1УХУ вв. X 2гугольника и нашел это значение с точными десятичными знаками . Европейские математики достигли результатов алКаши только в конце XVI века. Голландский ученый А. Роумен с помощью 0угольников получил тг с верными десятичными знаками , с. Г с верными десятичными знаками , с. Голландские ученые В. Снелль и X. Гюйгенс усовершенствовали метод Архимеда вписанных и описанных многоугольников так, что для вычисления длины окружности с большой точностью не стало необходимости использовать многоугольник с большим числом сторон. С появлением анализа бесконечно малых в XVII в. В результате были подучены методы, позволяющие находить длину окружности с какой угодно степенью точности , . Но, хотя число тг было вычислено с более чем 0 десятичными знаками и получены интересные в научном и практическом отношении удобные выражения для тг, природа числа тг, а также вопрос о возможности квадратуры круга и в это время оставались неизвестными, как и во времена Архимеда. Особенно важные результаты для аналитического представления и выяснения арифметической природы числа тг были получены Леонардом Эйлером , роль которого в истории квадратуры круга получила освещение в работе А. П. Юшкевича . Эйлер на протяжении всего периода своей научной деятельности интересовался задачей о квадратуре круга. Эта проблема несколько раз затрагивалась в письмах I. Эйлера к X. Гольдбаху. Уже в первом его письме от ноября г. Г, в частности, что рк не является рациональным числом. Созданная Эйлером элементарная тригонометрия как наука, изучающая свойства функций i 2, сое 2, 2, и особенно установленная им формула е 1, послужила ключом для решения задачи о квадратуре круга 1. Большой заслугой Эйлера является разработка теории непрерывных дробей, которая изложена им во Введении в анализ бесконечно малых . Позднее она была использована для представления чисел е и тг и выяснения их природы.