Неопределенные уравнения в работах Л. Эйлера и математиков XIX века

• Автор: Лавриенко, Татьяна Алексеевна
• Шифр специальности: 07.00.10
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 166 c. : ил

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.

Глава I. Творчество Л.Эйлера по диофантову анализу

I. Неопределенные уравнения к началу ХУ века.

2. Леонард Эйлер и его исследования по диофантову анализу.

3. Неопределенный анализ в Алгебре Эйлера.

4. Решение неопределенных уравнений 3ей и 4ой степеней

в статьях Эйлера

5. Двойные равенства у Эйлера.

Глава IX. Не определенные уравнения в поздних работах и в

рукописях Эйлера

I. Поздние работы Эйлера решение неопределенных уравнений
3ей и 4ой степеней в работах г..
2. Поздние работы Эйлера новый метод решения уравнений
с и х в мемуаре ломл i
3. Методы касательной, секущей и парабол в рукописях Эйлера, Глава III. Развитие арифметики алгебраических кривых после
Эйлера по работам Лагранжа, Кош, Люка.
I. Метод касательной в статье Лагранжа О некоторых проблемах анализа Диофанта
2. Работа Кош 0 решении некоторых неопределенных уравнений в целых числах
3. Введение геометрической интерпретации в диофантов анализ.
4. Заключительные замечания к третьей главе.
Заключение.
Литература


Наряду с применением методов ДиофантаФерма у Эйлера при исследовании таких уравнений встречаются и отдельные элементы нового, которые анализируются в настоящем параграфе. Здесь не рассматриваются работы Эйлера , , г. II диссертации. Устанавливается, что при. Эйлер по существу сводил задачу о нахождении рациональных точек пространственной эллиптической кривой к той же задаче для плоской эллиптической кривой. Вторая глава диссертации состоит из трех параграфов. Первые два параграфа посвящены систематическому рассмотрению цикла связанных друг с другом работ Эйлера г Этот цикл завершается работой , содержащей, повидимому, наиболее значительные результаты Эйлера в области арифметики алгебраических кривых. В первом параграфе рассматриваются первые шесть работ данного цикла. Исследуется, как при решении конкретных задач Эйлер приходит к общему методу получения последовательности рациональных решений уравнения эс1 0 по одному известному рациональному решению, где 5 ос, у, многочлен 4ой степени с рациональными коэффициентами, в котором каждая из неизвестных содержится не выше чем во второй степени. Даетсягеометрическая интерпретация этого метода. Именно на этот метод обратил внимание А. О.Гельфонд, выделив его из множества применяемых Эйлером методов решения неопределенных уравнений с двумя неизвестными и кратко изложив его в 9. Во втором параграфе проводится подробный историкоматематический анализ работы Рассматривается, как на основе упомянутого выше метода Эйлер приходит к новой итерационной процедуре получения последовательности рациональных решений уравнений В частности, устанавливается, что в ней систематически используются методы касательной, секущей и парабол. Показывается, что в данной процедуре впервые для нахождения новых рациональных точек эллиптической кривой применяется отражение известной рациональной точки относительно оси симметрии кривой, что при решении уравнения позволяет Эйлеру итерировать метод секущей. В третьем параграфе исследуются два отрывка из рукописей Эйлера по диофантову анализу. Они содержат результаты относительно уравнения 3 смысл и значение которых ранее были неясны. Предлагаются реконструкции методов получения формул из этих отрывков. Выясняется геометрический смысл этих формул. В частности, показывается, что одна из них дает решение уравнения На этом анализ творчества Эйлера заканчивается. Проведенный анализ показывает, что в своих работах по диофантову анализу Эйлер продолжал развивать алгебраические методы ДиофантаФерма. Его виртуозное владение алгебраическим аппаратом позволило ему не только решить множество конкретных задач, сводящихся к диофантовым уравнениям, но и получить новые методы решения диофантовых уравнений общего вида. Третья глава диссертации состоит из четырех параграфов. В ней исследуется, как в диофантовом анализе происходил переход к более общей точке зрения на предмет и формирование новых взглядов на методы исследования диофантовых уравнений. В этой главе рассматриваются главным образом работы математиков XIX века. Исключение составляет первый параграф, посвященный анализу одной работы Лагранжа года . Показывается, что в этой работе впервые было рассмотрено общее уравнение 3ей степени с двумя неизвестными, для которого Лагранж сформулировал метод касательной алгебраически. Отмечается, что исследование Лагранжа отличалось от предшествующих более высоким уровнем общности. Во втором параграфе дается историкоматематический анализ с статьи Коши О решении некоторых неопределенных уравнений в целых числах г. В данном параграфе выясняется геометрический смысл рассмотрений Коши. Показывается, что важным результатом его исследования было получение обоих методов нахождения рациональных точек плоской эллиптической кривой методов касательной и секущей в самом общем виде. В третьем параграфе изучается вопрос о проникновении геометрических представлений в диофантов анализ. Показывается, что геометрические представления были введены в диофантов анализ в связи с задачей решения неопределенного уравнения 3ей степени. В году французский математик Э.