Вычислительные аспекты теории рядов в опубликованных работах и неопубликованных материалах Леонарда Эйлера

• Автор: Шухман, Елена Владимировна
• Шифр специальности: 07.00.10
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Оренбург
• Количество страниц: 185 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Возникновение, становление и развитие теории бесконечных рядов до середины XVIII в
1.1. Возникновение и становление теории бесконечных рядов до середины XVII в
1.2. Развитие теории бесконечных рядов в конце XVII - начале XVIII

Глава 2. Вклад Эйлера в теорию рядов
2.1. Определение основных понятий теории бесконечных рядов в работах Эйлера
2.2. Основные операции над рядами в работах Эйлера
2.3. Интерполирование рядов
2.4. Суммирование расходящихся рядов
2.5. Формулы суммирования
2.6. Связь рядов с бесконечными произведениями
Глава 3. Применение бесконечных рядов в опубликованных и неопубликованных работах Эйлера
3.1. Применение рядов для вычисления значений интегралов и решения дифференциальных уравнений
3.2. Вычисление корней уравнений с помощью рядов
3.3. Приближенные вычисления значений функций
3.4. Приближенное вычисление числа я
3.4.1. Приближенное вычисление числа 7Г с помощью ряда для arctg х
3.4.2. Вычисление числа я с помощью формулы суммирования Эйлера-Маклорена
3.4.3. Современные методы вычисления 7г
3.5. Приближенное вычисление числа е
3.6. Приближенное вычисление константы
Эйлера-Маскерони
3.7. Приближенное вычисление константы
Эрдёша-Ворвейна
3.8. Применение рядов для изучения недесятичных систем счисления
Заключение
Список использованных источников
Приложение. Копия статьи Я.В. Успенского «Об асимптотическом ряде Эйлера»

Введение
Бесконечные ряды в современной математике находят многочисленные применения как универсальный инструмент для представления широкого класса функций, выполнения аналитических преобразований, приближенных вычислений в различных задачах.
В XVIII веке существенный вклад в развитие теории бесконечных рядов внес великий ученый Леонард Эйлер (Leonhard Euler, 1707-1783), ставший одним из создателей современного математического анализа, дифференциальной геометрии, теории функций комплексного переменного, теории чисел, комбинаторики, вариационного исчисления. Эйлер активно исследовал бесконечные ряды всеми доступными в то время методами. Он нашел некоторые общие и частные методы суммирования рядов, ввел понятие обобщенной суммы ряда, получил формулы для коэффициентов тригонометрических рядов, изучил множество применений бесконечных рядов для интерполирования, представления функций,приближенных вычислений значений трансцендентных функций и констант, поиска корней уравнений, численного интегрирования и дифференцирования, решения дифференциальных уравнений. Эйлер применял ряды для решения задач из геометрии, комбинаторики, теории чисел, механики и астрономии. Разработанные им основы теории рядов и методы их использования в различных областях науки актуальны и в наши дни.
Работы Эйлера по теории бесконечных рядов достаточно хорошо изучены в историко-математической литературе. Наиболее полно эти вопросы рассмотрены в кандидатской диссертации А.Н. Гусева [19], в монографиях Дж. Ферраро (G. Ferraro) [171] и B.C. Варадараджана (V.S. Varadarajan) [6]. Обзор и классификация работ Эйлера по теории рядов приведены редактором тома 16* полного собрания сочинений Эйлера («Leonhardi Euleri Opera omnia») Г. Фабером (G. Faber) [168]. Некоторые результаты Эйлера по теории рядов представлены в трудах У. Данхема (W. Dunham) [122], Й. Гофмана (J.E. Hofmann) [182], Р. Райфа (R. Reiff) [201], Э. Сандифира (E. Sandifier) [204], М. Клайна (М. Kline) [186]. Исследования Эйлера, касающиеся вопросов суммирования рядов, рассмотре-
ся рядов смысл термина «сумма ряда» другой, чем в случае сходящихся рядов, когда сумма получается в результате последовательного сложения членов ряда.
В «Дифференциальном исчислении» Эйлер дает следующее определение: «...сумма некоторого бесконечного ряда есть конечное выражение, из разложения которого возникает этот ряд. В этом смысле у бесконечного ряда 1 + х + + х2 + ж3 + ... истинная его сумма будет равна ибо этот ряд происходит из разложения этой дроби, какое бы число не подставлять вместо х. При этом соглашении, если ряд будет сходящимся, то новое определение слова сумма совпадет с обычным, а так как расходящиеся ряды не имеют никакой суммы в собственном смысле слова, то из этого нового наименования не проистечет никаких неудобств» [89, с.111]. Отметим, что при обосновании своего определения Эйлер ссылается на Лейбница, который при суммировании некоторых конкретных рядов 1 — 1 + 1 — 1 + ... = и 1 — 2 + 3 — 4 + 5 — 6 + ... = у рассуждал аналогично.
Понимаемое широко, такое определение наталкивается па трудности: данное определение верно только для степенных рядов, потому что только для них существует такое единственное выражение, из разложения которого они получаются (у рядов другого вида таких выражений может быть несколько).
Определение Эйлера не удовлетворяет требованиям строгости современного математического анализа, поэтому существует несколько вариантов его интерпретации с точки зрения современной теории расходящихся рядов. Согласно Годфрею Харди (Godfrey Harold Hardy, 1877-1947) [82, с.21], на современном языке определение перепишется так: «Если ряд 22 ап%п сходится для малых значений х и определяет функцию f(x) комплексного переменного х, однозначную и аналитическую в некоторой связной открытой области, содержащей начало координат х = 0 и точку х = 1, и если /(1) «а s, то s называется (£-суммой ряда
22 ап»-
Введенное определение иногда приводит к парадоксальным результатам. Так, из разложения ууПу = 1 + 2х + Ах2 + 8х3 + ... следует 1 + 2 + 4 + 8-I