Развитие качественной теории дифференциальных уравнений в XIX столетии

• Автор: Китаев, Давыд Борисович
• Шифр специальности: 07.00.10
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 151 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 ПРЕДЫСТОРИЯ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

1.1. ПИСЬМО ДАЛАМБЕРА.

1.2. РАБОТЫ ШТУРМА Г ОДА.

1.3. ТЕОРИЯ ШТУРМА ЛИУВИЛЛЯ.

1.4. ДИССЕРТАЦИЯ Н. Е. ЖУКОВСКОГО.

1.5. ЗАДАЧИ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ А.ЛЕОТЕ

1.6. ЗАДАЧИ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ Ж. ЛАГРАНЖ, К. ЯКОБИ, Д. ХИЛЛ

ГЛАВА 2 РАЗРАБОТКА КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ А. ПУАНКАРЕ И А.М. ЛЯПУНОВЫМ В КОНЦЕ XIX СТОЛЕТИЯ. РАННЕЕ ВОСПРИЯТИЕ ИХ ИДЕЙ ВО ФРАНЦИИ И ИТАЛИИ.

2.1. Обзор работ Пуанкаре по качественной теории дифференциальных уравнений.

2.2. ОБЗОР ТРУДОВ ЛЯПУНОВА А.М. НО ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
2.3. ТВОРЧЕСТВО П. ПЕНЛЕВЕ И ЕГО ВОСПРИЯТИЕ ИДЕЙ А. ПУАНКАРЕ
2.4 ВКЛАД Ж. АДАМ АРА В РАЗВИТИЕ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
2.5. РАЗВИТИЕ ИДЕЙ ПУАНКАРЕ И ЛЯПУНОВА В ОБЛАСТИ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ В ИТАЛИИ Т. ЛЕВИЧИВИТА.
ГЛАВА 3 РАЗВИТИЕ ИДЕЙ ПУАНКАРЕ В ОБЛАС ТИ КАЧЕСТВЕННОГО ИЗУЧЕНИЯ ПОВЕДЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА
ПЛОСКОСТИ В ТРУДАХ И. БЕНДИКСОНА.
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ


Леоте Мемуар о колебаниях с большими периодами в машинах, приводимых в действие гидравлическими моторами, и о средствах предупреждения таких колебаний. Эта работа была опубликована в журнале Политехнической школы в г. Проведя качественное исследование процесса взаимодействия регулятора и машины, Леоте пришел к расположению интегральных кривых, соответствующих наличию фокуса или предельного цикла и доказал ряд общих теорем относительно этих кривых. В разделе 1. Первый рассматриваемый в разделе принадлежит К. Якоби, который обобщил метод Лагранжа, упоминаемый в разделе 1. Второй пример принадлежит Д. У. Хиллу автору фундаментальных работ по теории движения Луны. В разделе упоминается разработанный Хиллом один из наиболее эффективных качественных методов исследования ограниченной задачи грех тел метод кривых нулевой скорости. В главе 2 проанализированы характерные особенности новой качественной проблематики в трудах Пуанкаре и Ляпунова, а также дана оценка этой проблематики их современниками П. Пенлеве, Ж. Адамаром, Т. ЛевиЧивита. В соответствии с этим глава 2 состоит из четырех разделов. В разделе 2. В период, предшествующий появлению мемуара Пуанкаре, преобладало изучение дифференциальных уравнений в комплексной области, разрабатывалась теория, получившая впоследствии наименование аналитической теории дифференциальных уравнений. Такой подход в изучении уравнений рассматривался как наиболее общий, т. Однако оказалось, что целый ряд важных, в том числе и для приложений, вопросов следовало изучать отдельно в действительной области. Характерной особенностью нового качественного подхода к изучению дифференциальных уравнений у Пуанкаре является использование им топологических методов исследования. Эти методы оказываются необходимыми при переходе от локального изучения решений уравнений к их глобальному изучению. X и У многочлены от х и у, равно полному числу седел плюс 2. Другой пример применения топологии дает использование Пуанкаре в своих исследованиях понятия рода поверхности, введенное ранее Риманом. Он показывает, что изменение рода поверхности существенным образом влияет на глобальное поведение траекторий. В разделе отмечается, что к анализу нового направления исследований Пуанкаре неоднократно возвращался и в последующие годы. Так, например, в заметке о своих работах г. Вообще, геометрическая интуиция играет важную роль в построениях Пуанкаре, приводя подчас к некоторой потере в строгоеги изложения. В разделе 2. Ляпунова в области качественной теории дифференциальных уравнений. Центральное место в цикле работ первого направления занимает его докторская диссертация Общая задача теории устойчивости, опубликованная в г. В разделе изложены основные результаты этой работы, а также рассмотрены этапы эволюции понятия устойчивости в трудах Ляпунова, охватывающей период с но гг. Речь, в частности, идет в нем о дискуссии между Пикаром, Ляпуновым и Пеплеве, возникшей в связи с обсуждением вопроса о существовании периодических решений определенного класса дифференциальных систем. Начало двух других направлений исследований Ляпунова было положено его магистерской диссертацией Об устойчивости эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости, написанной в г. При этом изучение фигур равновесия вращающейся жидкости было также обьектом исследований Пуанкаре. Общность интересов обоих ученых по этому вопросу привела к взаимной переписке между ними, продолжавшейся несколько более года. В этой связи в разделе приведены отдельные выдержки из данной переписки, причем наибольший исторический интерес представляют выдержки из письма Ляпунова, в котором идет речь о сходстве и различии методов исследований обоих ученых. Раздел 2. Г1. Пснлеве и его восприятию идей А. Пуанкаре. Работы Пснлеве характеризуются особой ролью, которую в них играет теория функций комплексного переменного. Новые качественные методы исследований дифференциальных уравнений в действительной области не занимают в его творчестве столь значимого и важного места, как у Пуанкаре. Тем не менее, в его работах, выполненных в период с по гг.