Кинематика стационарных и медленно эволюционирующих автоволновых фронтов

• Автор: Елькин, Юрий Евгеньевич
• Шифр специальности: 03.00.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Пущино
• Количество страниц: 149 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Обзор литературы.

1.1 Активные среды и их математическое описание.

1.2 Свойства автоволн.

1.3 Приближенные методы исследования автоволн.

1.4 Кинематический подход.

2 Вывод основных уравнений

2.1 Основные уравнения двумерной кинематики.

2.1.1 Обозначения и постановка задачи.

2.1.2 Вывод законов движения фронта и его обрыва

2.2 Безразмерная форма задач в двумерной кинематике.
2.3 Основные уравнения трехмерной кинематики
3 Стационарные спиральные автоволны
3.1 Предварительные замечания.
3.2 Решение ОДУ.
3.3 Решение граничной задачи при 7 0
3.3.1 Круглая среда произвольного радиуса.
3.3.2 Неограниченная среда
3.3.3 Среда большого радиуса
3.3.4 Среда малого радиуса
3.3.5 Применимость решений
3.3.6 Обсуждение
3.4 Стационарная спираль в неограниченной среде при произвольном у. . .
3.4.1 Постановка задачи и общее решение.
3.4.2 Наиболее общий случай.
3.4.3 Случай непрорастаюшего кончика
4 Дрейф спиральных волн в слабо неоднородной среде
4.1 Предварительные замечания
4.2 Математическая постановка задачи.
4.3 Метод решения
4.3.1 Свободная спираль.
4.3.2 Теория возмущений.
4.4 Результаты.
4.4.1 Общая формулировка
4.4.2 Приближенное решение для типичного случая
4.4.3 Неомюродность в виде линейного градиента.
4.4.4 Неоинородность в форме ступеньки.
4.5 Обсуждение.
5 Сопоставление с результатами других теорий и численного эксперимента
5.1 Сравнение с методом свободной границы.
5.1.1 Введение
5.1.2 Постановка задачи.
5.1.3 Трансляционные волны
5.1.4 Спиральные волны
5.1.5 Обсуждение.
5.2 Сравнение традиционной и новой кинематики
5.3 Численное моделирование свободных спиралей
5.3.1 Введение постановка задачи и выбор объекта исследования.
5.3.2 Методика, параметры и результаты экспериментов.
5.3.3 Эксперименты с моделью ФитцХьюНагумо
5.3.4 Обсуждение.
5.4 Численное моделирование дрейфа на ступенчатой неоднородности. . .
б Прямой скрученный свиток.
6.1 Предварительные замечания.
6.2 Геометрия фронта.
6.3 Постановка плоской задачи.
6.4 Приближенное аналитическое решение для случая общего положения. .
6.5 Обсуждение
Заключение
Список литературы


Наконец, в шестой главе приводятся результаты, достигнутые при рассмотрении кинематическим методом простейшей задачи в трехмерном пространстве. Рассматривается прямой свиток с постоянным градиентом фазы вращения вдоль его оси. В Заключении формулируются некоторые выводы. Обзор литературы. Активные среды и их математическое описание. По введении уже отмечалось, что авто волны возникают в активных средах, которые характеризуются не только наличием связи потоков вещества иили энергии, например, диффузии или теплопроводности между отдельными точками среды, ее элементами, но и достаточно сложным поведением отдельного элемента. Можно выделить три простейших типа таких алементов 9 бистабильный, возбудимый и автоколебательный, которым отвечают соответствующие тины составленных из них активных сред. Бистабильный алемент обладает двумя устойчивыми стационарными состояниями, переходы между которыми происходят при внешнем воздействии, превышающем некоторый порог. В средах из таких элементов возникают волны переключения из одного состояния в другое. К ним относятся, например, волны горения , . Возбудимый элемент имеет только одно устойчивое стационарное состояние. Внешнее воздействие, превышающее пороговый уровень, способно вывести элемент из устойчивого состояния и заставит В результате, в такой среде распространяется волна возбуждения. Это наиболее распространенный вид автоволн в биологических средах, таких как нервная ткань 7, или сердечная мышца 8. Автоколебательный элемент не имеет стационарных состояний и постоянно совершает устойчивые автоколебания определенной формы, амплитуды и частоты. Внешнее воздействие способно возмутить эти колебания. Но прошествии некоторого времени релаксации, все их характеристики кроме фазы вернутся к своему устойчивому значению, но фаза может измениться. Это, например, волны в азектрогирлянде и некоторых химических средах. Математическую модель активной среды можно строить на основе свойств отдельных элементов среды, составляя ее из определенным образом связанных клеточных автоматов. Каждый из них имеет конечное множество состояний и совершает переходы между ними по определенным правилам, характерным для элемента среды данного типа. Такие модели называются аксиоматическими , 9, . С их помощью был получен ряд качественных результатов, особенно касающихся возбудимых сред, например, наблюдалось образование спиральной волны из плоского фронта со свободным концом. Однако, наблюдать более тонкие эффекты, а тем более добиться количественного соответствия с экспериментальными данными, на таких моделях не удается. Более детальное описание активной среды можно получить, основываясь на дифференциальных уравнениях с частными производными типа реакциядиффузия далее РДсистемы. При этом связи между элементами точками среды описываются диффузионными членами уравнений, а динамика отдельного элемента реакционными. Количество независимых пространственных переменных в РДсистеме определяет размерность среды и может меняться от одной до трех. Неизвестные функции описывают динамику величин компонент характеризующих среду. Это концентрации веществ в химической системе концентрации ионов, транемембранные токи и напряжения при описании нервной или мышечной ткани. Для того чтобы реакционный член адекватно описывал достаточно сложное локальное поведение ак тивного элемента, он должен быть нелинейным. Вп Ау ,v дьУ Д V 1. Здесь Д и утЛ неизвестные функции, Д оператор Лапласа по пространственным переменным радиус вектору г, Е А, тензор диффузии, ,, Си, и реакционные члены. Система ОДУ 1. Вид фазовых портретов точечной системы для сред различных типов показан на рис. Бистабильные среды. ОАи и 1. Такова, например, модель распространения пламени 9 , в которой и и г, температура, и Сди, С удельная теплоемкость, ди теплота сгорания, И коэффициент температуропроводности среды. Если уравнение ди 0 имеет гри корня и 2 из, причем температура воспламенения щ такова что щ щ из, то в такой среде возможно распространения волн возгорания или тушения.