Исследование критических явлений в задачах биологической кинетики

• Автор: Хибник, Александр Иосифович
• Шифр специальности: 03.00.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Пущино
• Количество страниц: 216 c. : ил

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. КРИТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

математические модели и методы .II

I. Качественные перестройки режимов функционирования биологических систем. II

2. Математические методы исследования бифуркационных явлений

ГЛАВА 2. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

алгоритмический подход .

I. Методика последовательного анализа бифуркаций.

2. Численные алгоритмы исследования стационарных

и колебательных режимов.

3. Применение нового метода параметрического
анализа в задачах математической биофизики . .
ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ КРИТИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ В ЗАДАЧАХ
ХИМИЧЕСКОЙ И ФЕРМЕНТАТИВНОЙ КИНЕТИКИ .
. I. Множественность стационарных состояний и автоколебания в модели каталитической реакции . 2. Параметрический анализ механизмов колебаний
в гликолизе.
3. О взаимодействии триггерной и автоколебательной
динамики.
ГЛАВА 4. КРИТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ДИНАМИКЕ ВЗАИМОДЕЙСТВУВДИХ ПОПУЛЯЦИЙ пространственная и временная организация .
I. Мягкое и жесткое возбуждение колебаний
численности популяций .
Стр.
2. Модель распределенной экологической системы
и явление диффузионной неустойчивости
3. Взаимодействие колебательной и диффузионной
неустойчивости .
4. Множественные и нестационарные диссипативные структуры в распределенной экологической
системе.
ВЫВОДЫ
ЛИТЕРАТУРА


Заметим, что исследование указанных сложных режимов и их бифуркаций проводится, как правило, численными методами. Даже для проверки выполнимости условий теорем в ряде случаев приходится использовать расчеты на ЭВМ Рассмотрим теперь известные нам численные алгоритмы, которые позволяют изучать стационарные и периодические режимы в системах произвольного порядка. Задача I. Нахождение и анализ устойчивости стационарных состояний при фиксированных значениях параметров исследование эволюции стационарных состояний при изменении параметров. Для решения этой задачи, в основном, применяются два метода метод установления позволяет находить лишь устойчивый стационар и итерационные методы типа ньютоновских. В работе 3 предложен метод исследования числа и устойчивости стационарных состояний в уравнениях химической кинетики, исходя из структуры графа реакции. Подход к изучению стационарных состояний в уравнениях химической кинетики, основанный на вариационном принципе локального потенциала, развит в работе . Ореди работ, основанных на ньютоновских методах, отметим работу . В ней решается весь комплекс вопросов, связанных с уточнением стационарных состояний, анализом их устойчивости, изучением зависимости стационарных состояний от одного параметра. Задача 2. Нахождение и анализ устойчивости периодических траекторий при фиксированных значениях параметров исследование зависимости периодических траекторий от параметров. Для отыскания устойчивых периодических режимов также может быть применн метод установления. Алгоритмы для построения периодических решений в системах, близких к линейным, развиты в В работе предложен метод функционализации параметра и показана возможность его црименения к изучению периодических решений автономных систем. В работах 6,0 дал отыскания периодических траекторий используется метод Ньютона с его помощью находятся неподвижные точки отображения последования. В работе Зразработана численная схема для анализа релаксационных колебаний. Алгоритмы, позволяющие изучать эволюцию периодической траектории при изменении одного параметра, описаны в Задача 3. Наиболее изученными, в численном отношении, являются две бифуркации стационарных состояний ветвление и рождение предельного цикла бифуркация АндроноваХопфа. Первой задаче посвящено большое число работ см. ЦЪ . Алгоритмы для анализа бифуркации рождения цикла из стационарного состояния приведены в л I причм первая из цитированных работ опирается на методы теории ветвления, а вторая на метод центрального многообразия. Общим недостатком всех указанных методов является то, что они предназначены для решения отдельных частных задач и не связаны никакой общей концепцией. Это крайне затрудняет их использование в задачах математической биофизики. Кроме того, лишь в небольшом числе случаев предлагаемые численные методы доводятся до создания общеупотребительных стандартных программ. Развитые нами численные методы качественного исследован нияГ ЪЧ , 9 Ю 2. В настоящее время существует довольно много работ, в которых модели третьего и более высоких порядков используются для описания различных критических явлений в биологических и химических системах. Отметим некоторые из них, с особой наглядностью демонстрирующие эффективность применения современных результатов теории бифуркаций и сочетания аналитических и численных методов в задачах математической биофизики. Это работы по химической кинетике О пространственнораспределенных моделях. Изучение кинетики химических и биологических систем в тех случаях, когда пространственные эффекты являются существенными, проводится обычно с помощью так называемых уравнений реакциядиффузия. Важно подчеркнуть, что задачи качественного анализа уравнений реакциядиффузия и задачи качественного анализа обыкновенных дифференциальных уравнений во многом близки. Многие методы, применяемые для изучения критических явлений в обыкновенных дифференциальных уравнениях, могут быть использованы также и для анализа распределенных кинетических систем , Н5, .