Разработка алгоритмов оптимального управления поведением решений математической модели телескопического манипулятора

• Автор: Тряхов, Михаил Сергеевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 97 с. : ил.

Содержание
Введение

1. Построение математической модели. Математическая постановка изучаемых задач

1.1. Уравнения движения телескопического манипулятора

1.2. Математическая постановка задач управления

2. Оптимальное управление поведением решений начально-краевой задачи

(1.17)-(1.21) для случая l(t) = lo = const.

2.1. Постановка задачи. Построение решения

2.2. Решение задач оптимального управления

3. Оптимальное управление поведением решений начально-краевой задачи с переменной границей

3.1. Постановка задачи

3.2. Определение решения начально-краевой задачи (3.1)-(3.4)
3.3. Практический способ построения решения начально-краевой задачи (3.8)-(3.10)
3.4. Алгоритм построения оптимальных управлений
4. Оптимальное управление поведением решений начально-краевой задачи
(1.17)-(1.21)
4.1. Постановка задачи
4.2. Алгоритм построения оптимальных управлений поведением рещений начальнокраевой задачи (1.17)-(1.21)
Заключение
Литература
Приложение 1
Приложение 2

Введение
Актуальность темы исследования и степень ее разработанности. Диссертация посвящена разработке алгоритмов оптимального управления поведением решений математической модели телескопического манипулятора. Манипулятор состоит из твердого тела (направляющей), которое представляет собой полый цилиндр, внутри которого вдоль оси цилиндра расположен однородный вал постоянного кольцевого сечения, на конце которого расположен схват. Рука манипулятора может перемещаться вдоль оси направляющей. Вся механическая система может поворачиваться вокруг оси, проходящей через центр масс твердого тела перпендикулярно оси цилиндра. Манипулятор имеет две степени свободы - поворот манипулятора и перемещение руки со схватом. Под действием управляющего момента и внешней силы система соответственно может поворачиваться й перемещать руку вдоль своей оси. Предполагается, что рука обладает упругой податливостью. Упругая податливость руки моделируется упругим стержнем в рамках модели Эйлера-Бернули (см., например, [1]). Математическая модель изучаемой механической системы представляет собой гибридную систему дифференциальных уравнений, т.е. систему, содержащую как обыкновеннуые дифференциальные уравнения, так и уравнения с частными производными, связь между ними осуществляется через интегральные операторы и функционалы. Изучаются задачи перевода решений математической модели из начального фазового состояния в конечное в заданный момент времени, минимизируя некоторые функционалы от управлений и задача быстродействия при ограничении значений функционалов от управлений.
Манипуляторы подобного вида являются составными частями сложных робототехнических комплексов, используемых в разных областях науки, промышленности и обороны. Разработка алгоритмов оптимального управления поведением таких устройств, учитывающих их упругие свойства, является весьма актуальной задачей. Полученные результаты могут представлять как научный интерес, так и практическую значимость - могут быть использованы при проектировании роботехнических комплексов.
Решению задач управления механическими системами, содержащими упругие элементы, посвящена обширная литература. Отметим, во-первых, монографию Черноусько Ф.Л., Болотника H.H., Градецкого В.Г. [2], которая содержит большой библиографический обзор. В монографии наряду' со многими другими рассмотрена также изучаемая в диссерертации задача управления телескопическим манипулятором. Показано существование программных управлений, переводящих систему из одного состояния в другое, однако задачи оптимального управления в монографии не расматривались. Большое количество работ посвящено зада-
чам управления поведением твердого тела с упругим стержнем. Такие систему изучались в работах Бербюка В.Е. [3-7], где решаются различные проблемы динамики и оптимизации управляемых дискретно-континуальных систем, моделирующих роботы, шагающие аппараты, манипуляторы и др. В [8] рассмотрена задача оптимального управления поворотом двух твердых тел связанных между собой упругим стержнем. Основной метод исследования, возникающих при этом дискретно-распределенных систем - это замена распределенной составляющей конечномерной по методу Галёркина. В качестве базисных функций берутся балочные функции. Для конечномерного аналога строится оптимальное управление, которое и берется в качестве управления распределенной системой. В работе Эакалуа У., ко К., Бищ N. [9], где рассматривается задача поворота гибкой руки манипулятора с полным гашением поперечной вибрации в конце процесса управления, используется метод приближений Галёркина. При изучении задач управления медленно вращающейся балкой Тимошенко КгаЬь У., БЫуаг в.М. [10] также использовали метод Галеркина. Авторы показали, что существует не более чем счетная последовательность значений радиуса диска, при которых балка Тимошенко не является управляемой (не стабилизируемой). В статьях Бербюка В.Е. и Демидюка М.В. [11,12] задачи динамики и оптимизации манипуляционных роботов с распределенными параметрами решаются методами, основанными на концепции обратных задач динамики. Сходную тематику имеют совместные работы Акуленко Л.Д. и Болотника Н.Н. [13-16]. Асимптотические методы построения оптимальных управлений и их приложение к решению различных задач механики рассмотрены в монографии Акуленко Л.Д. [17].
Значительное количество работ посвящено изучению динамики и построению управлений для механической системы, состоящей из твердого тела с упругим стержнем, моделируемым балкой Тимошенко. Это работы Зеликина М.Н. [18], Си§а1 М. [19], КгаЬв У. [20,21], Leugering, в. [22,23].
Говоря об управлении системами с распределенными параметрами в общем, нельзя не упомянуть монографии Бутковского А.Г. [24-31], где положено начало системному использованию проблемы моментов в решении задач управления распределенными системами. Исследования Лурье К.А. [32,33] способствовали широкому распространению операторного подхода в области задач управления объектами с распределенными параметрами. Вопросам о необходимых условиях типа принципа максимума Понтрягина Л.С. в задачах оптимального управления в уравнениях с частными производными посвящена его монография [34]. Широкий круг задач теории оптимального управления системами с распределенными параметрами освещен в работах Лионса Ж.-Л. [35,36]. В заключение, не претендуя на полноту приведенного обзора, отметим работы Егорова А.И. [37,38], где рассматриваются как систе-
Введем в рассмотрение функции вида
z{x,t) 6 H2{QioT), z(x,T) = 0. (3.11)
Умножим (3.8) на z(x,t) и проинтегрируем по (x.t) в области Qi0t с учетом (3.8), (3.10). В результате получим равенство

J{-,*), (^1 («))-»(€,i))i)L2(0,IoJ ~ (L (f>%>- МО) > (A(k(t)), 2(e,t))t) +

+ (««(£, 0> %;(?> 0)^(0,io) ■ гГ*(0 - (ЛК0) • I6 + MOOo - f)] M(t), z{i, t))b2(0M -
~ (/(£> 0 1 z(fi ^))i2(0,io)}^ (^(^o) ' ^o(0i z(Ci 0))l2(o,(0) = 0 (3-12)
Под решением начально-краевой задачи (3.8)-(3.10) будем понимать функцию n(f. t) £
Ho(Qi0t), («(?, 0) = Wo(0) и удовлетворяющую равенству (3.12) для любой функции (3.11).
Покажем, что решение начально-краевой задачи (3.8)-(3.10) существует и единственно. Построение решения разобьем на несколько этапов. Построим сначала решение начальнокраевой задачи
A(l(t))vtt + к 4(0wfK£ = 0, (3.13)
г^с(0; t) = (0, t) = 0, г^(0, t) = v(0, t) = 0, (3-14)
u«,0)=uo(0.vt(S.O)=tio(0- (3-15)
В этом случае соотношение (3.12) примет вид

(ut(Ç, t), (A(h(t))z(Ç, t))t)b2{oM + к 4t) (u«(£, 0, *«(£> t))L2(o,0)] dt+
+ (A{l0).ù0(Ç),z(Ç, 0))MO,o)=0 (3.16)
Разобьем отрезок [0,T] на N частей ширины Л t = Т/N и обозначим t3 = Atj.j = 0,1, ...N. Соотношение (3.16) заменим соотношением

^ / [- Ы(€> 0. 0)0 м0 (о) + к 4(0 (г^(£,«), 2К(?, 0)Ьг(сио)№ + О(А0 = 0,
•7=1# ,
(3.17)
которое с зачетом вида оператора Л(^(£)) и свойств ^(£) выполняется равномерно относительно разбиения отрезка [0,Т]. На каждом отрезке Т)+1 = Ь],Ь]+\ решение строится согласно изложенной в главе 2 схеме по формуле (3.6). При этом за начальные условия решения принимается значение решения ^) и Ь3), пол}'ченного на предыдущем отрезке. Эти