Математическое моделирование и численное исследование процессов в сетеподобных объектах, описываемых эволюционными уравнениями

• Автор: Гнилицкая, Юлия Александровна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 204 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава I. Математическое описание эволюционных процессов
в сетях и сетеподобных объектах
§ 1. Общие положения
§ 2. Математическое описание эволюционных процессов в кровеносных сосудах
2.1. Эволюционные процессы в кровеносных сосудах
2.2. Эволюционная модель переноса по системе сосудов
2.3. Волновые явления в сосудистой системе
§ 3. Моделирование эволюционных процессов в сетях и сетсподобных
физических объектах
3.1. Ламинарное течение жидкости в сети длинных труб
3.2. Турбулентное течение сред в сетеиодобных трубопроводах
3.3. Ламинарное течение сред в сетеподобных трубопроводах
3.4. Другие задачи естествознания
Выводы
Глава II. Математические модели, описываемые эволюционными уравнениями с распределенными параметрами на сетях и сетеподобных областях
§ 1. Одномерные и многомерные сетеподобные множества
1.1. Одномерные сетеподобные множества
1.2. Многомерные сетеподобные множества
§ 2. Динамика несжимаемой вязкой жидкости (линейный случай)
2.1. Основные понятия и предложения
2.2. Начально-краевая задача, однозначная разрешимость
§ 3. Динамика несжимаемой вязкой жидкости (нелинейный случай)
3.1. Необходимые обозначения и понятия
3.2. Существование решения задачи (2.25)—(2.30)

3.3. Единственность решения задачи (2.25)—(2.30)
3.4. Непрерывность по исходным данным
3.5. Линеаризованная система (2.25)—(2.30)
§ 4. Корректность математических моделей
Выводы
Глава III. Оптимизация эволюционных процессов в сетях и
сетеподобных объектах
§ 1. Линейный случай, система с распределенными параметрами
на сети
1.1. Задача стартовой оптимизации
1.2. Соотношения, определяющие оптимум
1.3. Управляемость системы (3.2)
1.4. Отыскание оптимума
1. 5. Конечномерная оптимизация
§ 2. Нелинейный случай, система с распределенными параметрами
в сетеподобной области
2.1. Задача стартовой оптимизации
2.2. Бесконечномерная оптимизация
Выводы
Глава IV. Численные методы
§ 1. Метод Роте
1.1. Предварительные рассуждения
1.2. Обоснование метода Роте (линейный случай)
§ 2. Аппроксимация дифференциальных систем на сетях
2.1. Уравнения Навье-Стокса. Система с параметром
2.2. Анализ задачи с параметром
2.3. Сходимость
2.4. Метод Роте для систем эволюционных уравнений с параметром
§ 3. Метод приближений Галеркина
§ 4. Алгоритмическое описание эволюционных процессов
4.1. Алгоритмы отыскания специального базиса
4.1.1. Алгоритм 1-го типа для сети Г

4.1.2. Алгоритм 2-го типа для сетеподобной области
4.2. Алгоритмы отыскания решений начально-краевых задач
4.2.1. Алгоритм метода Роте
4.2.2. Алгоритм метода аппроксимаций
4.2.3. Алгоритм метода Галеркина
§ 5. Алгоритмы отыскания решений задач оптимизации
5.1. Общая схема алгоритма отыскания решений задач оптимизации
5.2. Алгоритм отыскания решений задачи стартовой оптимизации
5.3. Алгоритм отыскания решений задачи граничной оптимизации
5.4. Алгоритмы отыскания решений других задач
оптимизации
Выводы
Глава V. Прикладные эволюционные задачи в сетеподобных
объектах
§ 1. Расчет полей скоростей ламинарных потоков
1.1. Линейный случай, давление в сети постоянное
1.2. Линейный случай, давление в сети изменяется
§ 2. Расчет полей скоростей турбулентных потоков
2.1. Нелинейный случай, давление в сети изменяется (Г е Р')
2.2. Нелинейный случай, давление в сети изменяется (3 е Я2)
§ 3. Оптимизационные задачи эволюционных процессов
3.1. Оптимизация по стартовым данным (линейный случай)
3.2. Оптимизация по стартовым данным (нелинейный случай)
Заключение
Список литературы
Приложение

и имеет вид
1М1щ|(Г) = / (и2(х) + (2.2)

^2,1 (Гг) ~~ пространство функций из іа(Гт) с нормой
ІМи2,і(Гт) = /(/гі2(®,<)гіа:)1/2<Й; (2.3)

И^’^Гг) — пространство функций и(х,і) Є І^Одг)» имеющих обобщенную производную 1-го порядка по х, принадлежащую Ьг(ГУ), норма в Иб^Гт) определяется соотношением
1М1цф°(гг) = ^ + ^Г12) (2.4)

Пусть далее Уг(Гг) — множество всех функций и(х,Ь) Є И^’^Гу), имеющих конечную норму
ІМІ2,гг = игагтах ||и(:М)||^(г) + ||§||І2(Гг) (2.5)
и непрерывных по 1 в норме £г(Г), т. с. таких, что
||и{х,ї + Аі) — и(х, 011д2(г) ~* О ПРИ —> 0 равномерно на [О, Г]. Рассмотрим билинейную форму
") = / + Ь{х)ц{х)и{х)^ (1х, (2.6)
коэффициенты а(ж), 6(ж) — фиксированные измеримые ограниченные на Го функции, суммируемые с квадратом: а* < а(ж) < а*, |Ь(ж)| < /?, х Є Г0 (а*, а*,/? — фиксированные положительные постоянные). Из леммы 2 [10, с. 72] следует, что в пространстве ІИ^Г) есть множество П функций и(х) Є С(Г) (С(Г) — пространство непрерывных на Г функций), удовлетворяющие соотношениям
(л л Ли(0)
Е а(1Ь,-гг^ = Е
7,єД(
во всех узлах £ Є У (Г) (здесь /?(£) — множество ребер, ориентированных «к узлу £», г(£) — множество ребер ориентированных «от узла £»; через и(-)7 обозначено сужение функции и(-) на ребро 7). Замыкание в норме И^Г) множества функций из И, равных нулю во всех узлах £ Є <ЭГ, обозначим через Г). Пусть далее П0(а,Гу) — множество функций
и(х,і) Є У2(Гг), чьи следы определены на сечениях области Гу плоскостью і — іо (іо Є [О,!1]) как функции класса 1У2о(а;Г), т.с. для каждого