Исследование одной стохастической модели газа при умеренных числах Кнудсена

• Автор: Гудич, Игорь Григорьевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 89 с. : ил.

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ
1 Коэффициенты сноса и диффузии в пространстве скоростей в предположении о локальной максвелловости
2 Линейная задача о пространственно - однородной релаксации
в сферической системе координат
3 Пространственно — однородная релаксация для модели в форме системы стохастических дифференциальных уравнений с упрощенными коэффициентами
4 Пространственно - однородная релаксация для модели в форме системы стохастических дифференциальных уравнений с нелинейными коэффициентами
Заключение

ВВЕДЕНИЕ
Гидро- и газо-динамика на протяжении многих лет являются одними важнейших из наиболее сложных отраслей математического моделирования. Задачи, касающиеся этих областей, встречаются повсеместно и в огромном диапазоне масштабов, начиная от уровня живой клетки, которая большей частью состоит из воды, заканчивая поведением атмосферы и звездной динамикой. Для описания процессов и явлений па каждом из уровней требуется своя адекватная математическая модель течения жидкости или газа, которая позволяет не упустить характерные для исследуемого масштаба эффекты и, вместе с тем, не является слишком сложной для решения.
Ранние попытки объяснить течение воды относят еще к XVII веку. Они были предприняты такими учеными, как Эванджелиста Торричелли, Эдме Мариот-том и Доменико Гульельмипи еще в доныотоновскую эпоху. После принятия научным сообществом открытых Исааком Ньютоном законов началась новая эра в физике, и описание течений перешло на качественно новый уровень, что породило представление о жидкости, как о сплошной среде. Автором первой подобного рода модели, не учитывающей ни вязкость среды, ни ее сжимаемость, стал Леопард Эйлер. Далее развитие этих представлений привели к системе уравнений газовой динамики, названной в его честь. Затем для того чтобы учесть не только нормальные (давление), но и касательные силы, действующие на элементарный объем жидкости, Анри Навье ввел феноменологический коэффициент, тензор вязких напряжений, это позволило корректно описать "перемешивание" жидкости. Большой вклад в исследование получившейся системы внес Джордж

Стокс, в результате чего она была названа уравнениями Навье - Стокса,
Между тем, к середине XIX века начала формироваться молекулярно - кинетическая теория (Крениг, Клазиус), постулирующая три основных положения: все тела состоят из частиц, частицы находятся в непрерывном хаотическом (тепловом) движении, частицы взаимодействую друг с другом путем абсолютно упругих столкновений. Максвелл применил к этой теории соображения математической статистики, введя распределение молекул газа по скоростям. Необходимость кинетического описания стала понятна из исследований взаимодействия течения с границей. В результате опытов и их последующего анализа, проделанных Стоксом (1851) и Максвеллом (1879), было установлено, что условия прилипания является верными, только если среда не разрежена. К концу XIX века Людвиг Больцман, обобщая все эти результаты, вывел свое знаменитое уравнение [37] и, тем самым породив новое направление исследований. Оно известно, как шестая из проблем Гильберта, представленных им на Международном конгрессе математиков в 1900 году в Париже, и состоит в построении "математического предельного процесса, который ведет от атомистического видения к законам движения континуума" а именно, получении единого описания газовой динамики, включая все уровни этого описания.
Многие современные научные и инженерные задачи в таких областях, как исследование космоса, вакуумные технологии, разработка и проектирование микро-электро-мсхапических систем, требуют рассмотрения течений на всех уровнях от микро- до макро-масштаба. Состояние дел таково, что имеющиеся на рынке дорогостоящие пакеты прикладных программ такие, как FLUENT, OpcnFOAM или ANSYS, несмотря на их огромные возможности, позволяющие использовать миллионы точек сетки, ее адаптацию к расчетной области, изощренный сервис для пользователя, тем не менее, не справляются в полном объеме с задачами, которые необходимы инженерам для оптимизации конструируемых изделий.Требуется все большая точность вычислений, все большее количественное совпадение результатов расчетов с экспериментальными

вспоминая (1.9)

е-^(/з + |с|)3£г/з =

/со /*оо
е^2/3(/3 + |с|)2^ + |с| / е^2(/3 + |с|)2с?/
■и ^-и 1 « 100 /*°° 9 = - о е Ф + МЛ , - / е О3 + И)^+

е-^ІР+І с)Чр

принимая во внимание (1.12), (1.14) получим:
1 Ч Г°°
е~с2-(1 + с2) + (--|с| - |ср) /
2 2 у_и
Аналогичным образом, принимая во внимание (1.9), (1.13) и (1.15)
І-= е Іс1)“,г3<іг+

1 О 7*
= е-с2І(1 + с2) + фс| + И3) ф е-^
Подставляя (1.40), (1.41) в (1.38), полу

/з — 2(-|с| + |с|3) / е ,5 (І/3 + 2е с +
2 ./О
= Дгеі4(|с|)(||с| + |е|3) + 2е"'?
(1.40)
(1.41)
(1.42)
Поменяв порядок интегрирование в І4 (1.39) получим: