Математическое моделирование процессов с локализованными особенностями на геометрическом графе

• Автор: Лылов, Евгений Владимирович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 140 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Математическая модель малых деформаций растянутой сетки из струн с локализованными особенностями
1.1 Вариационное обоснование математической модели малых деформаций растянутой сетки из струн с локализованными особенностями
1.2 Корректность математической модели малых деформаций растянутой сетки из струн с локализованными особенностями
2 Математическая модель малых вынужденных колебаний сетки из струн с локализованными особенностями
2.1 Вариационное обоснование математической модели малых вынужденных колебаний сетки из струн с локализованными особенностями
2.2 Корректность математической модели малых вынужденных колебаний сетки из струн с локализованными особенностями
2.3 Применение метода Фурье к математической модели малых вынужденных колебаний сетки из струн с локализованными особенностями
2.3.1 О разложении функций из Е в ряд Фурье по собственным функциям
2.3.2 О некоторых свойствах собственных функций

2.3.3 Доказательство возможности применения метода
Фурье
3 Адаптация метода конечных элементов на геометрическом графе
3.1 Адаптация метода конечных элементов для математической модели малых деформаций растянутой сетки из струн
с локализованными особенностями
3.2 Оценка погрешности адаптированного метода конечных
элементов
3.3 Адаптация метода конечных элементов для математиче-
ской модели малых вынужденных колебаний растянутой сетки из струн с локализованными особенностями
3.4 Оценка погрешности адаптированного метода конечных
элементов
4 Комплекс программ для реализации численных экспериментов
4.1 Программа для реализации численных экспериментов для
математической модели малых деформаций растянутой сетки из струн с локализованными особенностями
4.2 Программа для реализации численных экспериментов для
математической модели малых вынужденных колебаний сетки из струн с локализованными особенностями
5 Численный эксперимент
5.1 Первый численный эксперимент
5.2 Второй численный эксперимент
Заключение
Литература
А Приложения
А.1 Текст программы Progra.ml.py
А.2 Текст программы Program2.py

Введение
Актуальность темы. В последние десятилетия возрастает актуальность моделирования и исследований процессов в науке и технических приложениях, имеющих характер сетей, прежде всего в тех областях, где такая особенность обусловлена геометрическими свойствами исследуемых объектов. Прежде всего это заметно в бурно развивающихся приложениях нанотехнологий, где субатомный характер технологических задач предполагает кардинально новые подходы в моделировании процессов и явлений, проходящих в линейных фрагментах изучаемого объекта. Это только одно из возможных приложений математических моделей, которые используют формализмы эволюционных систем с локализованными особенностями на геометрических графах.
Группа математиков, работавших иод руководством профессора Ю.В. Покорного, создала качественную теорию краевых задач второго порядка на геометрическом графе. К настоящему времени для уравнений второго порядка с достаточно гладкими коэффициентами, рассматриваемых на геометрических графах, изучен вопрос о разрешимости задачи с краевыми условиями типа Штурма-Лиувилля при условиях трансмиссии во внутренних вершинах графа, вопрос о структуре спектра, получен аналог осцилляционной теоремы Штурма, установлен аналог формулы Даламбера, разработаны алгоритмы для численного решения. Начато исследование задач на графе, когда коэффициенты и правая часть не только не являются непрерывными, но и могут иметь особенности типа дельта-функций и их производных. Здесь можно отметить работы следующих авторов: Ю.В. Покорного (см. [39—45, 65-66]), A.B. Боровских (см. [4]), В.В. Провоторова (см., напр., [8, 12, 36, 46]), О.М. Пенкина (см. [37]), B.JI. Прядиева (см. [47]), В.А. Юрко (см. [53]), М.Ш. Бурлуцкую,
эта функция дифференцируема по А, и

0) = J I 1)йМ{х)(И — I J pu'x(x,t)h/x(x,t)dxdt—
to г (о г
— J J u(x,t)h(x,t)dQ(x)dt + J J h(x,t)dF(x,t)dt,
1о Г (0 Г
то равенство нулю этого выражения при любой допустимой Н(х, £) и должно определять истинное значение и(х, I):

pu'xh'xdxdt-

— У У uhdQ{x)dt + У У hdFdt = 0. (2.2)
<о Г (о Г
Применяя к первому интегралу в левой части (2.2) абстрактную теорему Фубини и интегируя внутренний интеграл по частям получим следующее равенство:
£і £і
У У и'1к'^М{х)йі = У У v!th'tdtdM(ж) =
£о Г Г £о

= У и[(х,і)Іі(х,і) — У к(х,і)и"1:(х,і)6і
dM{x) =

= —У У h(x,t)u"t(x,t)dM(x)dt, (2.3)

так как /г(х, £0) = ^(ж,П) = 0. Интегрирование по частям внутреннего интеграла (2.3) законно в силу свойств функций из класса